Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều, cạnh a. Hình chiếu vuông góc của A' lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm AB. Biết AC' vuông góc với A'B tính thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C'
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.png)
Diện tích tam giác ABC là \(\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}\).
Gọi H, K lần lượt là trung điểm các cạnh AB,A'B' và K là giao của AH',A'B.
Ta chứng minh được \(A'B\bot \left( AC'H \right)\).
Suy ra \(A'B\bot AH'\)
Đặt \(A'H=x\Rightarrow BH'=x\).
Ta có K là trọng tâm tam giác AA'B' suy ra \(KB=\frac{2}{3}A'B=\frac{2}{3}\sqrt{{{x}^{2}}+\frac{{{a}^{2}}}{4}},KA=\frac{2}{3}AH'=\frac{2}{3}\sqrt{{{x}^{2}}+{{a}^{2}}}\).
Tam giác KAB vuông tại K nên \(K{{B}^{2}}+K{{A}^{2}}=A{{B}^{2}}\Leftrightarrow \frac{4}{9}\left( 2{{x}^{2}}+\frac{5}{4}{{a}^{2}} \right)={{a}^{2}}\Leftrightarrow x=\frac{a\sqrt{2}}{2}\).
Suy ra \(V={{S}_{ABC}}.A'H=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{8}\)
Câu hỏi liên quan
-
Cho hàm số bậc bốn có đồ thị như hình dưới
.PNG)
Số nghiệm của phương trình 3f(x) +6 = 0 là
-
Tập nghiệm của bất phương trình \({\log _{\frac{1}{2}}}\left( {x - 1} \right) \ge - 3\) là
-
Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng \(\left( P \right):2x - 4y - 2z + 1 = 0\). Vectơ nào có tọa độ cho sau đây là một vectơ pháp tuyến của (P)?
-
Một hình nón đỉnh S có chiều cao h=a và bán kính đáy r=2a. Mặt phẳng \(\left( P \right)\) qua S cắt đường tròn đáy tại hai điểm A,B sao cho \(AB=2a\sqrt{3}.\) Tính khoảng cách từ tâm của đường tròn đáy đến mặt phẳng \(\left( P \right)\)
-
Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên sau
.PNG)
Số nghiệm thuộc đoạn \(\left[ {0;\frac{{3\pi }}{2}} \right]\) của phương trình \(2f\left( {\cos x} \right) - 3 = 0\)
-
Trong không gian Oxyz điểm nào sau đây không thuộc đường thẳng \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l} x = 3 - 2t\\ y = 1 + t\\ z = - 2 + t \end{array} \right.\)?
-
Số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = - 2{x^3} + 3x\) với đường thẳng y = 1 ?
-
Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right),SA = 8a,\) tam giác ABC đều, cạnh bằng 4a. Gọi M là trung điểm cạnh SB (minh họa như hình dưới)
.png)
Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và SC
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) thỏa mãn: \(f'\left( x \right)=\frac{1-2{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}},\,\,\forall x>0\) và \(f\left( 1 \right)=-3\). Tính tích phân
\(I=\int\limits_{1}^{e}{f\left( x \right)\text{d}x}\)
-
Trên mặt phẳng tọa độ, M(-1;3) là điểm biểu diễn số phức nào ?
-
Cho hai số phức \({z_1} = 5 - i,\,\,{z_2} = 3 + 4i\). Tìm phần ảo của số phức \(2{z_1} + {z_2}\)
-
Trong không gian Oxyz cho các điểm \(A\left( {3; - 2;0} \right),B\left( {0; - 1;3} \right)\). Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm O, A và B.
-
Đồ thị hàm số nào cho trong 4 phương án có dạng đường cong hình dưới đây ?
.PNG)
-
Cho hàm số \(y = \frac{{ax + 3b}}{{x + {b^2}}}\) có bảng biến thiên sau:
.PNG)
Tổng a + b bằng
-
Cho số thực a, b thỏa mãn \({\log _9}\left( {{3^a}{{.9}^b}} \right) = {\log _{\sqrt 3 }}3\). Mệnh đề nào sau đây là đúng ?
-
Trong không gian Oxyz, cho điểm \(M\left( 2;-1;2 \right),\) mặt phẳng \(\left( P \right):x+3y-2z+6=0\) và \(\Delta \) là đường thẳng đi qua điểm M, vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right)\). Tìm tọa độ giao điểm của \(\Delta \) với mặt phẳng \(\left( Oxy \right)\)
-
Số phức liên hợp của z = - 3 + 2i là
-
Cho hình nón có bán kính đáy r = 2 và độ dài đường sinh l = 3. Diện tích xung quanh của hình nón đã cho bằng
-
Cho các số phức \({z_1} = 8 + mi\,\,\left( {m \in Z} \right)\) và \({z_2} = 1 + 2i\). Biết \(\frac{{{z_1}}}{{{z_2}}}\) là số thuần ảo, m thuộc khoảng nào cho sau đây ?
-
Phương trình đường tiệm ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{{3x}}{{x - 2}}\) là
