Cho khối tứ diện \(ABCD\) có thể tích là \(V\). Gọi \(E,\,\,F,\,\,G\) lần lượt là trung điểm \(BC,\,\,BD,\,\,CD\) và \(M,\,\,N,\,\,P,\,\,Q\) lần lượt là trọng tâm \(\Delta ABC,\,\,\Delta ABD,\,\,\Delta ACD,\,\,\Delta BCD\). Tính thể tích khối tứ diện \(MNPQ\) theo \(V\).
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có: \(\dfrac{{AM}}{{AE}} = \dfrac{{AP}}{{AG}} = \dfrac{{AN}}{{AF}} = \dfrac{2}{3} \Rightarrow MP//EG,\,\,MN//EF\)
\( \Rightarrow \left( {MNP} \right)//\left( {BCD} \right)\).
Ta có \(\dfrac{{MN}}{{EG}} = \dfrac{2}{3} \Rightarrow \dfrac{{MN}}{{BD}} = \dfrac{1}{3}\)
Ta có \(\Delta MNP\) đồng dạng với \(\Delta BCD\) theo tỉ số \(\dfrac{1}{3} \Rightarrow \dfrac{{{S_{\Delta MNP}}}}{{{S_{\Delta BCD}}}} = \dfrac{1}{9}\).
Dựng \(B'C'\) qua M và song song \(BC\). \(C'D'\) qua P và song song với \(CD\).
\( \Rightarrow \left( {MNP} \right) \equiv \left( {B'C'D'} \right)\).
Trong \(\left( {ABG} \right)\) gọi \(I = AQ \cap B'P\). Ta có \(\dfrac{{AB'}}{{AB}} = \dfrac{{AI}}{{AQ}} = \dfrac{{AP}}{{AG}} = \dfrac{2}{3}\).
\(\begin{array}{l}\dfrac{{d\left( {Q;\left( {MNP} \right)} \right)}}{{d\left( {A;\left( {MNP} \right)} \right)}} = \dfrac{{QI}}{{AI}} = \dfrac{1}{2};\,\,\dfrac{{d\left( {A;\left( {MNP} \right)} \right)}}{{d\left( {A;\left( {BCD} \right)} \right)}} = \dfrac{{AB'}}{{AB}} = \dfrac{2}{3}\\ \Rightarrow \dfrac{{d\left( {Q;\left( {MNP} \right)} \right)}}{{d\left( {A;\left( {BCD} \right)} \right)}} = \dfrac{1}{2}.\dfrac{2}{3} = \dfrac{1}{3}\end{array}\)
Vậy \(\dfrac{{{V_{MNPQ}}}}{{{V_{ABCD}}}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{9} = \dfrac{1}{{27}} \Rightarrow {V_{MNPQ}} = \dfrac{V}{{27}}\).
Chọn D.
Đề thi thử THPT QG năm 2022 môn Toán
Trường THPT Long Trường