Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi K là trung điểm của SC. Mặt phẳng \(\left( P \right)\) qua AK và cắt các cạnh SB,SD lần lượt tại M và N. Đặt \({{V}_{1}}={{V}_{S.AMKN}},\text{ }V={{V}_{S.ABCD}}\). Tìm \(S=\max \frac{{{V}_{1}}}{V}+\min \frac{{{V}_{1}}}{V}\).
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.png)
Đặt \(x=\frac{SM}{SB};\text{ }y=\frac{SN}{SD}\). Tính \(\frac{{{V}_{1}}}{V}\) theo \(x\) và \(y\).
Ta có \(\frac{{{V}_{S.AMK}}}{{{V}_{S.ABC}}}=\frac{SM}{SB}.\frac{SK}{SC}=\frac{1}{2}x\Rightarrow {{V}_{S.AMK}}=\frac{x}{4}V\).
Tương tự ta có \({{V}_{S.ANK}}=\frac{y}{4}V\).
Suy ra \(\frac{{{V}_{1}}}{V}=\frac{x+y}{4}\text{ }\left( 1 \right)\)
Lại có \({{V}_{1}}={{V}_{S.AMN}}+{{V}_{S.MNK}}\) và \({{V}_{S.ABC}}={{V}_{S.ADC}}=\frac{1}{2}V\).
Mà \(\frac{{{V}_{S.AMN}}}{{{V}_{S.ABD}}}=\frac{SM}{SB}.\frac{SN}{SD}=xy\Rightarrow {{V}_{S.AMN}}=\frac{xy}{2}V\)
\(\frac{{{V}_{S.MNK}}}{{{V}_{S.BDC}}}=\frac{SM}{SB}.\frac{SN}{SD}.\frac{SK}{SC}=\frac{xy}{2}\Rightarrow {{V}_{S.MNK}}=\frac{xy}{4}V\)
Suy ra \(\frac{{{V}_{1}}}{V}=\frac{3xy}{4}\text{ }\left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2) suy ra \(y=\frac{x}{3x-1}\).
Do \(x>0;\text{ }y>0\) nên \(x>\frac{1}{3}\).
Vì \(y\le 1\Rightarrow \frac{x}{3x-1}\le 1\Rightarrow x\ge \frac{1}{2}\). Vậy ta có \(x\in \left[ \frac{1}{2};1 \right]\).
Xét hàm số \(f\left( x \right)=\frac{{{V}_{1}}}{V}=\frac{3xy}{4}=\frac{3{{x}^{2}}}{4\left( 3x-1 \right)}\) với \(x\in \left[ \frac{1}{2};1 \right]\).
Có \({f}'\left( x \right)=\frac{3x\left( 3x-2 \right)}{4{{\left( 3x-1 \right)}^{2}}}\).
Bảng biến thiên:
.png)
Từ bảng biến thiên suy ra \(\frac{{{V}_{1}}}{V}=\frac{1}{3};\text{ }\max \frac{{{V}_{1}}}{V}=\frac{3}{8}\Rightarrow S=\frac{1}{3}+\frac{3}{8}=\frac{17}{24}\).
Đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán
Trường THPT Chuyên Hạ Long lần 3
Câu hỏi liên quan
-
Tính đạo hàm của hàm số \(y={{\log }_{\frac{3}{4}}}\left| x \right|\).
-
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số \(y=\frac{2\text{x}-1}{x+5}\) trên đoạn \(\left[ -1;3 \right]\).
-
Cho các số thực a,b>1 thỏa mãn \({{a}^{{{\log }_{b}}a}}+{{16}^{{{\log }_{a}}\left( \frac{{{b}^{8}}}{{{a}^{3}}} \right)}}=12{{b}^{2}}.\) Giá trị của \({{a}^{3}}+{{b}^{3}}\) bằng
-
Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên đoạn \(\left[ 0;2 \right]\) và \(f(0)=-1;\text{ }f(2)=2\). Tích phân \(\int\limits_{0}^{2}{{f}'(x)d\text{x}}\) bằng
-
Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn \(\left| z-3i \right|=\left| 1-i.\overline{z} \right|\) và \(z-\frac{9}{z}\) là số thuần ảo?
-
Cho hình nón đỉnh S, đáy là đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Biết rằng \(AB=BC=10a,\,AC=12a\), góc tạo bởi hai mặt phẳng \(\left( SAB \right)\) và \(\left( ABC \right)\) bằng \(45{}^\circ \). Tính thể tích V của khối nón đã cho.
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \(d:\left\{ \begin{align} & 1\text{x}=2+2t \\ & y=-1-3t \\ & z=1 \\ \end{align} \right.(t\in \mathbb{R})\). Xét đường thẳng \(\Delta :\frac{x-1}{1}=\frac{y-3}{m}=\frac{z+2}{-2}\), với m là tham số thực khác 0. Tìm tất cả các giá trị thực của m để đường thẳng Δ vuông góc với đường thẳng d.
-
Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như sau:
.png)
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
-
Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm tại \(x=1\) và \({f}'(1)\ne 0\). Gọi \({{d}_{1}},\text{ }{{\text{d}}_{2}}\) lần lượt là hai tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y=f(x)\) và \(y=g(x)=x.f(2\text{x}-1)\) tại điểm có hoành độ \(x=1\). Biết rằng hai đường thẳng \({{d}_{1}},\text{ }{{\text{d}}_{2}}\) vuông góc với nhau. Khẳng định nào sau đây đúng?
-
Cho hình lăng trụ tam giác đều \(ABC.{A}'{B}'{C}'\) có \(AB=a,\) góc giữa đường thẳng \({A}'C\) và mặt phẳng \(\left( ABC \right)\) bằng 45°. Thể tích của khối lăng trụ \(ABC.{A}'{B}'{C}'\) bằng
-
Cho hàm số bậc ba \(y=f(x)\) và có đồ thị là đường cong như trong hình vẽ. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số \(g(x)=\left| f(2\sin x)-1 \right|\). Tổng M+m bằng
.jpg.png)
-
Gọi \(S\) là tập chứa tất cả các giá trị nguyên của tham số m để bất phương trình \(\log \left( 60{{x}^{2}}+120x+10m-10 \right)>1+3\log \left( x+1 \right)\) có miền nghiệm chứa đúng 4 giá trị nguyên của biến \(x\). Số phần tử của S là
-
Xét các số phức z, w thỏa mãn \(\left| \text{w}-i \right|=2,\text{ }z+2=iw\). Gọi \({{z}_{1}},\text{ }{{\text{z}}_{2}}\) lần lượt là các số phức mà tại đó \(\left| z \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất và đạt giá trị lớn nhất. Mođun \(\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|\) bằng
-
Tính thể tích của khối lập phương \(ABC\text{D}.{A}'{B}'{C}'{D}'\), biết \(A{C}'=2\text{a}\sqrt{3}\).
-
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( P \right):x+y+z-3=0\) và các điểm \(A\left( 3;2;4 \right),B\left( 5;3;7 \right)\). Mặt cầu \(\left( S \right)\) thay đổi đi qua \(A,B\) và cắt mặt phẳng \(\left( P \right)\) theo giao tuyến là đường tròn \(\left( C \right)\) có bán kính \(r=2\sqrt{2}\). Biết tâm của đường tròn \(\left( C \right)\) luôn nằm trên một đường tròn cố định \(\left( {{C}_{1}} \right)\). Bán kính của \(\left( {{C}_{1}} \right)\) là
-
Cho hàm số \(y={{x}^{3}}+a{{x}^{2}}+bx+c\)có đồ thị (C). Biết rằng tiếp tuyến d của (C) tại điểm A có hoành độ bằng -1 cắt (C) tại B có hoành độ bằng 2 (xem hình vẽ). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi d và (C) (phần gạch chéo trong hình vẽ) bằng
.jpg.png)
-
Cho cấp số nhân \(({{u}_{n}})\) với \({{u}_{1}}=2,\text{ }q=4\). Tổng của 5 số hạng đầu tiên bằng
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ -3;3 \right]\) và có bảng xét dấu đạo hàm như hình bên.
.png)
Mệnh đề nào sau đây sai về hàm số đó?
-
Kí hiệu \({{z}_{1}},\text{ }{{\text{z}}_{2}}\) là hai nghiệm phức của phương trình \({{z}^{2}}+(1-2i)z-1-i=0\). Giá trị của \(\left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right|\) bằng
-
Trong mặt phẳng Oxy, cho hai điểm A, B như hình vẽ dưới đây. Trung điểm của đoạn thẳng AB biểu diễn số phức?
.jpg.png)
