Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi K là trung điểm của SC. Mặt phẳng \(\left( P \right)\) qua AK và cắt các cạnh SB,SD lần lượt tại M và N. Đặt \({{V}_{1}}={{V}_{S.AMKN}},\text{ }V={{V}_{S.ABCD}}\). Tìm \(S=\max \frac{{{V}_{1}}}{V}+\min \frac{{{V}_{1}}}{V}\).
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.png)
Đặt \(x=\frac{SM}{SB};\text{ }y=\frac{SN}{SD}\). Tính \(\frac{{{V}_{1}}}{V}\) theo \(x\) và \(y\).
Ta có \(\frac{{{V}_{S.AMK}}}{{{V}_{S.ABC}}}=\frac{SM}{SB}.\frac{SK}{SC}=\frac{1}{2}x\Rightarrow {{V}_{S.AMK}}=\frac{x}{4}V\).
Tương tự ta có \({{V}_{S.ANK}}=\frac{y}{4}V\).
Suy ra \(\frac{{{V}_{1}}}{V}=\frac{x+y}{4}\text{ }\left( 1 \right)\)
Lại có \({{V}_{1}}={{V}_{S.AMN}}+{{V}_{S.MNK}}\) và \({{V}_{S.ABC}}={{V}_{S.ADC}}=\frac{1}{2}V\).
Mà \(\frac{{{V}_{S.AMN}}}{{{V}_{S.ABD}}}=\frac{SM}{SB}.\frac{SN}{SD}=xy\Rightarrow {{V}_{S.AMN}}=\frac{xy}{2}V\)
\(\frac{{{V}_{S.MNK}}}{{{V}_{S.BDC}}}=\frac{SM}{SB}.\frac{SN}{SD}.\frac{SK}{SC}=\frac{xy}{2}\Rightarrow {{V}_{S.MNK}}=\frac{xy}{4}V\)
Suy ra \(\frac{{{V}_{1}}}{V}=\frac{3xy}{4}\text{ }\left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2) suy ra \(y=\frac{x}{3x-1}\).
Do \(x>0;\text{ }y>0\) nên \(x>\frac{1}{3}\).
Vì \(y\le 1\Rightarrow \frac{x}{3x-1}\le 1\Rightarrow x\ge \frac{1}{2}\). Vậy ta có \(x\in \left[ \frac{1}{2};1 \right]\).
Xét hàm số \(f\left( x \right)=\frac{{{V}_{1}}}{V}=\frac{3xy}{4}=\frac{3{{x}^{2}}}{4\left( 3x-1 \right)}\) với \(x\in \left[ \frac{1}{2};1 \right]\).
Có \({f}'\left( x \right)=\frac{3x\left( 3x-2 \right)}{4{{\left( 3x-1 \right)}^{2}}}\).
Bảng biến thiên:
.png)
Từ bảng biến thiên suy ra \(\frac{{{V}_{1}}}{V}=\frac{1}{3};\text{ }\max \frac{{{V}_{1}}}{V}=\frac{3}{8}\Rightarrow S=\frac{1}{3}+\frac{3}{8}=\frac{17}{24}\).
Đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán
Trường THPT Chuyên Hạ Long lần 3
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( P \right):x+y+z-3=0\) và các điểm \(A\left( 3;2;4 \right),B\left( 5;3;7 \right)\). Mặt cầu \(\left( S \right)\) thay đổi đi qua \(A,B\) và cắt mặt phẳng \(\left( P \right)\) theo giao tuyến là đường tròn \(\left( C \right)\) có bán kính \(r=2\sqrt{2}\). Biết tâm của đường tròn \(\left( C \right)\) luôn nằm trên một đường tròn cố định \(\left( {{C}_{1}} \right)\). Bán kính của \(\left( {{C}_{1}} \right)\) là
-
Tính môđun của số phức z thỏa mãn \(z(1-i)+2i=1\).
-
Tính thể tích của khối lập phương \(ABC\text{D}.{A}'{B}'{C}'{D}'\), biết \(A{C}'=2\text{a}\sqrt{3}\).
-
Trong không gian Oxyz, phương trình mặt cầu (S) có tâm \(I\left( 0;1;-1 \right)\) và tiếp xúc với mặt phẳng \(\left( P \right):2x-y+2z-3=0\) là
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( P \right):2x-5y-z=0\) và đường thẳng \(d:\frac{x-1}{1}=\frac{y+1}{1}=\frac{z-3}{-1}\). Viết phương trình đường thẳng \(\Delta \) vuông góc mặt phẳng \(\left( P \right)\) tại giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng \(\left( P \right).\)
-
Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình vẽ?
.jpg.png)
-
Cho a và b là hai số thực dương khác 1 và các hàm số \(y={{a}^{x}},y={{b}^{x}}\) có đồ thị như hình vẽ.
.jpg.png)
Đường thẳng \(y=3\) cắt trục tung, đồ thị hàm số \(y={{a}^{x}},y={{b}^{x}}\) lần lượt các điểm H, M, N. Biết rằng HM=2MN. Mệnh đề nào sau đây đúng?
-
Tích phân \(I=\int\limits_{0}^{1}{{{e}^{x+1}}}dx\) bằng
-
Một bác thợ gốm làm một cái lọ có dạng khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y = \(\sqrt{1+x}\) và trục Ox quay quanh Ox. Biết đáy lọ và miệng lọ có đường kính lần lượt là 2 dm và 4 dm, khi đó thể tích của lọ là:
-
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{x^2} - 2mx + 3\,\,\,\left( {x \le 1} \right)}\\ {nx + 10\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {x > 1} \right)} \end{array}} \right.\), trong đó m,n là hai tham số thực. Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đúng hai điểm cực trị?
-
Cho hàm số \(y=\frac{2x-1}{x-1}\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Điểm \(M\left( a,b \right)\left( a>0 \right)\) thuộc \(\left( C \right)\) sao cho khoảng cách từ M tới tiệm cận đứng của \(\left( C \right)\) bằng khoảng cách M tới tiệm cận ngang của \(\left( C \right)\). Mệnh đề nào dưới đây đúng?
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ -3;3 \right]\) và có bảng xét dấu đạo hàm như hình bên.
.png)
Mệnh đề nào sau đây sai về hàm số đó?
-
Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số \(f(x)=\sin 5\text{x}\) là
-
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số \(y=\frac{2\text{x}-1}{x+5}\) trên đoạn \(\left[ -1;3 \right]\).
-
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(M\left( 2;0;-1 \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{a}=\left( 4;-6;2 \right)\). Phương trình tham số của \(\Delta \) là
-
Rút gọn biểu thức \(P={{x}^{\frac{1}{2}}}.\sqrt[4]{x}\) với x> 0
-
Xét các số phức z, w thỏa mãn \(\left| \text{w}-i \right|=2,\text{ }z+2=iw\). Gọi \({{z}_{1}},\text{ }{{\text{z}}_{2}}\) lần lượt là các số phức mà tại đó \(\left| z \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất và đạt giá trị lớn nhất. Mođun \(\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|\) bằng
-
Cho hàm số \(f(x)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d\text{ }(a,b,c,d\in \mathbb{R})\). Đồ thị của hàm số \(y=f(x)\) như hình vẽ bên. Số nghiệm thực của phương trình \(2\left| f(x) \right|-3=0\) là
.jpg.png)
-
Cho hình lăng trụ tam giác đều \(ABC.{A}'{B}'{C}'\) có \(AB=a,\) góc giữa đường thẳng \({A}'C\) và mặt phẳng \(\left( ABC \right)\) bằng 45°. Thể tích của khối lăng trụ \(ABC.{A}'{B}'{C}'\) bằng
-
Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 6, 7 lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm ba chữ số khác nhau?
