Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M là trung điểm của BC và H là trung điểm của AM. Biết \(HB=HC,\widehat{HBC}={{30}^{0}};\) góc giữa mặt phẳng \(\left( SHC \right)\) và mặt phẳng \(\left( HBC \right)\) bằng \({{60}^{0}}.\) Tính cô-sin của góc giữa đường thẳng BC và mặt phẳng \(\left( SHC \right)\).
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.jpg.png)
HB=HC nên tam giác HBC cân tại H, suy ra \(HM\bot BC\).
Trong mặt phẳng \(\left( ABC \right)\) dựng \(AK\bot HC\Rightarrow HC\bot \left( SAK \right).\)
Mà góc giữa mặt phẳng \(\left( SHC \right)\) và \(\left( ABC \right)\) bằng \({{60}^{0}}\) nên \(\widehat{SKA}={{60}^{0}}.\)
Giả sử BC=a.
\(\Rightarrow BM=\frac{a}{2}\Rightarrow AH=HM=BM.\tan {{30}^{0}}=\frac{a\sqrt{3}}{6}\)
\(\Rightarrow AK=AH.\sin {{60}^{0}}=\frac{a}{4}\Rightarrow SA=AK.\tan {{60}^{0}}=\frac{a\sqrt{3}}{4}.\)
Trang bị hệ trục tọa độ Axyz với \(A\left( 0;0;0 \right),S\left( 0;0;\frac{\sqrt{3}}{4} \right),H\left( \frac{\sqrt{3}}{6};0;0 \right),C\left( \frac{\sqrt{3}}{3};\frac{1}{2};0 \right),B\left( \frac{\sqrt{3}}{3};\frac{-1}{2};0 \right).\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{SH}=\left( \frac{\sqrt{3}}{6};0;\frac{-\sqrt{3}}{4} \right),\overrightarrow{HC}=\left( \frac{\sqrt{3}}{6};\frac{1}{2};0 \right),\overrightarrow{BC}=\left( 0;1;0 \right).\)
Từ đó suy ra mặt phẳng \(\left( SHC \right)\) nhận \(\overrightarrow{n}=\left( 3\sqrt{3};-3;2\sqrt{3} \right)\) là véc-tơ pháp tuyến.
Ta có \(\sin \left( BC,\left( SHC \right) \right)=\left| \cos \left( \overrightarrow{n},\overrightarrow{BC} \right) \right|=\left| \frac{-3}{\sqrt{48}} \right|=\frac{\sqrt{3}}{4}\Rightarrow \cos \left( BC,\left( SHC \right) \right)=\frac{\sqrt{13}}{4}.\)
Đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán
Trường THPT Đồng Đậu lần 2
Câu hỏi liên quan
-
Đạo hàm của hàm số \(y={{3}^{x}}\) là
-
Trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho điểm \(M\) trong hình vẽ bên là điểm biễu diễn của số phức \(z.\) Tìm \(z.\)
.jpg.png)
-
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số \(y=\left| {{x}^{2}}+2x+m-4 \right|\) trên đoạn \(\left[ -2;1 \right]\) đạt giá trị nhỏ nhất. Giá trị của m là
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đồ thị như hình bên. Khi đó \(y=f\left( x \right)\) là hàm số nào sau đây?
.jpg.png)
-
Viết phương trình mặt cầu tâm \(I\left( 1;-2;3 \right)\) và bán kính R=2.
-
Tìm tập nghiệm S của phương trình \({{3}^{{{x}^{2}}}}=9.\)
-
Đường cong hình bên là đồ thị của hàm số \(y=a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c\) với a,b,c là các số thực. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
.jpg.png)
-
Biết \(\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)dx}=10,F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) và \(F\left( a \right)=-3.\) Tính \(F\left( b \right).\)
-
Cho số phức \(z=7-i\sqrt{5}\). Phần thực và phần ảo của số phức \(\overline{z}\) lần lượt là
-
Cho hàm số có đồ thị \(y=f\left( x \right)\) như hình vẽ bên dưới. Trên đoạn \(\left[ -3;1 \right]\) hàm số đã cho có mấy điểm cực trị?
.jpg.png)
-
Tập nghiệm của bất phương trình \({{3}^{x}}>9\) là
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị như hình vẽ bên. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn \(\left[ 0;1 \right].\)
.jpg.png)
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Hàm số \(y=f\left( x \right)\) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
.jpg.png)
-
Tìm nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)=2{{x}^{3}}-9.\)
-
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(d:\left\{ \begin{align} & x=1+2t \\ & y=-t \\ & z=2+t \\ \end{align} \right.\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x+2y+1=0.\) Tìm hình chiếu của đường thẳng d trên \(\left( P \right).\)
-
Có 16 tấm bìa ghi 16 chữ “HỌC”, “ĐỂ”, “BIẾT”, “HỌC”, “ĐỂ”, “LÀM”, “HỌC”, “ĐỂ”, “CHUNG”, “SỐNG”, “HỌC”, “ĐỀ”, “TỰ”, “KHẲNG”, “ĐỊNH”, “MÌNH”. Một người xếp ngẫu nhiên 16 tấm bìa cạnh nhau. Tính xác suất để xếp các tấm bìa được dòng chữ “HỌC ĐỀ BIẾT HỌC ĐỂ LÀM HỌC ĐỂ CHUNG SỐNG HỌC ĐỂ TỰ KHẲNG ĐỊNH MÌNH”.
-
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( 1;1;1 \right).\) Một mặt phẳng \(\left( P \right)\) cắt \(\left( S \right)\) thep giao tuyến là một đường tròn \(\left( C \right).\) Biết chu vi lớn nhất của \(\left( C \right)\) bằng \(2\pi \sqrt{2}.\) Phương trình của \(\left( S \right)\) là
-
Một chiếc cốc hình trụ có đường kính đáy 6 cm, chiều cao 15 cm chứa đầy nước. Nghiêng cốc cho nước chảy từ từ ra ngoài cho đến khi mép nước ngang với đường kính của đáy. Khi đó diện tích của bề mặt nước trong cốc bằng.
.PNG)
-
Phương trình \({{\log }_{2}}\left( x-3 \right)=3\) có nghiệm là
-
Cho hai số phức \({{z}_{1}}=1+2i\) và \({{z}_{2}}=2-3i.\) Phần ảo của số phức \(\text{w}=3{{z}_{1}}-2{{z}_{2}}\) là
