Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác \(ABC\) vuông tại \(C,\,\,CH\) vuông góc với \(AB\) tại \(H\), \(I\) là trung điểm của đoạn \(HC\). Biết \(SI\) vuông góc với mặt phẳng đáy, \(\angle ASB = {90^0}\). Gọi \(O\) là trung điểm của đoạn \(AB,\,\,O'\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(ABSI\), \(\alpha \) là góc giữa \(OO'\) và mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\). Tính \(\cos \alpha \).
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.JPG)
Ta có: \(SI \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SI \bot HC\).
Xét tam giác \(SHC\) có \(SI\) là trung tuyến đồng thời là đường cao \( \Rightarrow \Delta SHC\) cân tại \(S \Rightarrow SH = SC\,\,\left( 1 \right)\)
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AB \bot HC\\AB \bot SI\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {SHC} \right) \Rightarrow AB \bot SH\).
Do \(\Delta ABC\) vuông tại C và \(\Delta SAB\) vuông tại S, lại có \(O\) là trung điểm của \(AB \Rightarrow OA = OB = OS = OC\).
Xét tam giác vuông \(OSH\) và tam giác vuông \(OCH\) có:
\(OS = OC\,\,\left( {cmt} \right);\,\,OH\,\,chung\)
\( \Rightarrow \Delta OSH = \Delta OCH\) (cạnh huyền – cạnh góc vuông) \( \Rightarrow SH = CH\,\,\left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \Delta SHC\) đều.
Gọi \(K\) là trung điểm của \(SH\) ta có \(CK \bot SH\).
Do \(AB \bot \left( {SHC} \right)\,\,\left( {cmt} \right) \Rightarrow AB \bot CK \Rightarrow CK \bot \left( {SAB} \right)\) (3).
Vì tam giác \(SAB\) vuông tại \(S \Rightarrow O\) là tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta SAB\).
\(O'\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(ABSI \Rightarrow OO'\) là trục của \(\Delta SAB \Rightarrow OO' \bot \left( {SAB} \right)\) (4).
Từ (3) và (4) \( \Rightarrow CK//OO' \Rightarrow \angle \left( {OO';\left( {ABC} \right)} \right) = \angle \left( {CK;\left( {ABC} \right)} \right)\).
Trong \(\left( {SHC} \right)\) kẻ \(KM//SI\,\,\left( {M \in CH} \right) \Rightarrow CM\) là hình chiếu của \(CK\) trên \(\left( {ABC} \right)\).
\( \Rightarrow \angle \left( {CK;\left( {ABC} \right)} \right) = \angle \left( {CK;CM} \right) = \angle KCM = \angle KCH\).
Do tam giác \(SHC\) là tam giác đều (cmt) \( \Rightarrow \) Đường cao \(CK\) đồng thời là phân giác \( \Rightarrow \angle KCH = {30^0}\).
Vậy \(\angle \left( {OO';\left( {ABC} \right)} \right) = {30^0} \Rightarrow \alpha = {30^0} \Rightarrow \cos \alpha = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\).
Chọn A.
Câu hỏi liên quan
-
Cho đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = 0\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = + \infty .\) Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?
-
Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(m \in \left[ {0;2018} \right]\) để bất phương trình \(m + {e^{\frac{\pi }{2}}} \ge \sqrt[4]{{{e^{2x}} + 1}}\) có nghiệm với mọi \(x \in \mathbb{R}\)?
-
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:
.JPG)
Số nghiệm thực của phương trình \(f\left( x \right) = 4\) bằng:
-
Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m để đường thẳng \(d:\,\,y = - x + m\) cắt đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{ - 2x + 1}}{{x + 1}}\) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho \(AB \le 2\sqrt 2 \). Tổng giá trị tất cả các phần tử của S bằng:
-
Cho \({\log _5}a = 5\) và \({\log _3}b = \dfrac{2}{3}\). Tính giá trị của biểu thức \(I = 2{\log _6}\left[ {{{\log }_5}\left( {5a} \right)} \right] + {\log _{\frac{1}{9}}}{b^3}\).
-
Cho hàm số \(y = \dfrac{{x + 2}}{{x - 1}}\). Giá trị \({\left( {\mathop {\min }\limits_{x \in \left[ {2;3} \right]} y} \right)^2} + {\left( {\mathop {\max }\limits_{x \in \left[ {2;3} \right]} y} \right)^2}\) bằng:
-
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:
.JPG)
Số đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho bằng:
-
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ { - 3;4} \right]\) và có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi \(M\) và \(m\) lần lượt là các giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn \(\left[ { - 3;4} \right]\). Tính \(M + m\).
.JPG)
-
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m \in \left[ { - 2018;2019} \right]\) để đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3mx + 3\) và đường thẳng \(y = 3x + 1\) có duy nhất một điểm chung?
-
Mặt cầu bán kính \(a\) có diện tích bằng
-
Cho khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có diện tích đáy \(ABC\) bằng \(S\) và chiều cao bằng \(h\). Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng:
-
Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào sau đây?
.JPG)
-
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) , có bảng biến thiên như hình sau:
.JPG)
Trong mệnh đề sau, mệnh đề nào Sai?
-
Người ta xếp bảy viên bi là các khối cầu có cùng bán kính R vào một cái lọ hình trụ. Biết rằng các viên bi đều tiếp xúc với hai đáy, viên bi nằm chính giữa tiếp xúc với sáu viên bi xung quanh và mỗi viên bi xung quanh đều tiếp xúc với các đường sinh của lọ hình trụ. Tính theo R thể tích lượng nước cần dùng để đổ đầy vào lọ sau khi đã xếp bi.
-
Gọi \(n\) là số các giá trị của tham số m để bất phương trình \(\left( {2m - 4} \right)\left( {{x^3} + 2{x^2}} \right) + \left( {{m^2} - 3m + 2} \right)\left( {{x^2} + 2x} \right) - \left( {{m^3} - {m^2} - 2m} \right)\left( {x + 2} \right) < 0\) vô nghiệm. Giá trị của \(n\) bằng:
-
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu \({u_1} = 3\) và công sai \(d = 2\). Giá trị của \({u_7}\) bằng:
-
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh a. Mặt bên \(\left( {SBC} \right)\) vuông góc với đáy và \(\angle CSB = {90^0}\). Tính theo a bán kính mặt cầu ngoại tiếp chóp \(S.ABC\)?
-
Cho hình nón có bán kính đáy bằng \(a\) và diện tích toàn phần bằng \(3\pi {a^2}\). Độ dài đường sinh \(l\) của hình nón bằng :
-
Cho số thực \(a\) dương khác 1. Biết rằng bất kỳ đường thẳng nào song song với trục \({\rm{Ox}}\) mà cắt đường thẳng \(y = {4^x},y = {a^x},\) trục tung lần lượt tại \(M,{\rm N}\) và \(A\) thì \(A{\rm N} = 2AM\) (hình vẽ bên). Giá trị của \(a\) bằng
.JPG)
-
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:
.JPG)
Hàm số đạt cực đại tại điểm \({x_0}\) bằng:
