Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A. Cạnh AC = a, \(BC = a\sqrt 5 \). Mặt phẳng (SAB) vuông góc mặt phẳng đáy và tam giác SAB đều. Gọi K điểm thuộc cạnh SC sao cho SC = 3SK. Tính khoảng cách \(d\) giữa hai đường thẳng AC và BK theo a.
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiGọi H là trung điểm của AB \( \Rightarrow SH \bot AB\) (do tam giác SAB đều)
Do \((SAB) \bot (ABC) \Rightarrow SH \bot (ABC)\)
Do tam giác ABC vuông tại A nên AB=2a\( \Rightarrow SH = a\sqrt 3 .\)
\({S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC = \frac{1}{2}.2a.a = {a^2}\)
Kẻ KM song song với AC cắt SA tại M. Khi đó AC//KM suy ra AC//(BKM)
Do đó d(AC,BK)=d(AC,(BKM))
Ta có \(AC \bot AB;AC \bot SH\) nên \(AC \bot (SAB)\)
Kẻ \(AI \bot BM,\) do KM//AC nên \(AI \bot KM\) suy ra \(AI \bot \left( {BKM} \right)\)
.png)
Suy ra d(AC,BK)=d(AC,(BKM))=d(A,(BKM))=AI
Ta có: \(\frac{{MA}}{{SA}} = \frac{{KC}}{{SC}} = \frac{2}{3} \Rightarrow {S_{AMB}} = \frac{2}{3}{S_{SAB}} = \frac{2}{3}{(2a)^2}\frac{{\sqrt 3 }}{4} = \frac{2}{3}{a^2}\sqrt 3 .\)
Ta lại có \(BM = \sqrt {A{B^2} + A{M^2} - AB.AM.\cos {{60}^0}} = \frac{{2a\sqrt 7 }}{3}\)
Do đó \(AI = \frac{{2{S_{ABM}}}}{{BM}} = \frac{{2\sqrt {21} a}}{7}.\) Vậy \(d(AC,BK) = \frac{{2\sqrt {21} a}}{7}.\)
Đề thi thử THPT QG môn Toán năm 2018
Trường THPT Lê Hồng Phong
Câu hỏi liên quan
-
Phương trình \(\sin \left( {3x + \frac{\pi }{3}} \right) = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\) có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng \(\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\)?
-
Đạo hàm của hàm số \(y = \left( {{x^3} - 5} \right)\sqrt x \) bằng biểu thức nào sau đây?
-
Cho hình chóp \(S.ABCD\) đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật tâm \(O\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(OC\). Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) qua \(M\) và \(\left( \alpha \right)\) song song với \(SA\) và \(BD\). Thiết diện của hình chóp \(S.ABCD\) và \(mp\left( \alpha \right)\) là hình gì?
-
Trong hòm có 10 quả cầu có hình dạng và kích thước giống nhau, trong đó có 2 quả cầu trắng, 5 quả cầu xanh và 3 quả cầu vàng. Xác suất để khi lấy ngẫu nhiên 6 quả cầu thì có không quá 1 quả cầu trắng là bao nhiêu?
-
Bảng biến thiên dưới đây là của hàm số nào?
.png)
-
Cho hàm số \(y = {x^2} + 5x + 4\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Tìm tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại các giao điểm của \(\left( C \right)\) với trục \(Ox\).
-
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ \(Oxy\). Cho đường tròn \(\left( C \right)\) có phương trình: \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 5} \right)^2} = 4\) và điểm \(I\left( {2; - 3} \right).\) Gọi \(\left( {C'} \right)\) là ảnh của \(\left( C \right)\) qua phép vị tự \(V\) tâm \(I\) tỉ số \(k = - 2.\) Tìm phương trình của \(\left( {C'} \right).\)
-
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình chữ nhật. Hình chiếu vuông góc của \(S\) lên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) là điểm \(A\). Hình chóp có mấy mặt là tam giác vuông?
-
Cho \(k\) là một số nguyên dương, trong các mệnh đề sau đây mệnh đề nào sai?
-
Tìm số các chỉnh hợp chập \(k\) của một tập hợp gồm \(n\) phần tử \((1 \le k \le n).\)
-
Hỏi \(x = \pi \) là một nghiệm của phương trình nào sau đây?
-
Tính giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {{x^2}\sin \frac{{{x^2} + 2}}{{{x^2}}}} \right)\)ta có kết quả là bao nhiêu?
-
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ \(Oxy\) Cho hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) lần lượt có phương trình: \(x - 2y + 1 = 0\) và \(x - 2y + 4 = 0\), điểm \(I\left( {2;1} \right).\) Phép vị tự tâm \(I\) tỉ số \(k\) biến đường thẳng \({\Delta _1}\) thành \({\Delta _2}.\) Tìm \(k.\)
-
Khối tứ diện đều, khối bát diện đều và khối hai mươi mặt đều có số đỉnh là Đ, số cạnh là C, số mặt là M thỏa mãn:
-
Hàm số \(y = \sin x\) đồng biến trên mỗi khoảng nào?
-
Cho hàm số \(y = {x^4} - 2{x^2}\). Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
-
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) : \(\frac{1}{2}; - \frac{1}{2}; - \frac{3}{2}; - \frac{5}{2};...{\rm{ }}\) Khẳng định nào sau đây sai?
-
Cho hàm số \(y = \frac{{2x - 3}}{{x + 1}}\) . Mệnh đề nào sau đây đúng?
-
Gieo ngẫu nhiên một con súc sắc cân đối, đồng chất liên tiếp 3 lần. Xác suất để được mặt có 6 chấm chỉ xuất hiện trong lần gieo thứ 3 là bao nhiêu?
-
Nếu \(P(A).P(B) = P(A \cap B)\) thì \(A,B\) là 2 biến cố như thế nào?
