Cho hình chóp đều S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB, SC. Biết \(\left( {AMN} \right) \bot \left( {SBC} \right)\). Thể tích của khối chóp S.ABC bằng
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.png)
Gọi D là trung điểm của BC. Do \(\Delta SBC\) cân tại \(S \Rightarrow SD \bot BC\).
MN là đường trung bình của \(\Delta SBC \Rightarrow MN//BC \Rightarrow MN \bot SD\) và \(MN = \frac{1}{2}BD = \frac{a}{2}\).
Gọi \(H = MN \cap SD \Rightarrow SH \bot MN\)
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}
\left( {AMN} \right) \bot \left( {SCD} \right)\\
\left( {AMN} \right) \cap \left( {SCD} \right) = MN\\
\left( {SCD} \right) \supset SH \bot MN
\end{array} \right. \Rightarrow SH \bot \left( {AMN} \right)\).
Tương tự ta chứng minh được \(AH \bot \left( {SCD} \right) \Rightarrow AH \bot SD\) tại H là trung điểm của SD.
\( \Rightarrow \Delta SAD\) cân tại A \( \Rightarrow SA = AD = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} = SB = SC\).
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông SBD có \(SD = \sqrt {S{B^2} - B{D^2}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).
\( \Rightarrow SH = \frac{1}{2}SD = \frac{{a\sqrt 2 }}{4}\).
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông SAH ta có \(AH = \sqrt {S{A^2} - S{H^2}} = \frac{{a\sqrt {10} }}{4}\).
\(\begin{array}{l}
\Rightarrow {S_{\Delta AMN}} = \frac{1}{2}AH.MN = \frac{1}{2}.\frac{{a\sqrt {10} }}{4}.\frac{a}{2} = \frac{{{a^2}\sqrt {10} }}{{16}}\\
\Rightarrow {V_{S.AMN}} = \frac{1}{3}SH.{S_{\Delta AMN}} = \frac{1}{3}.\frac{{a\sqrt 2 }}{4}.\frac{{{a^2}\sqrt {10} }}{{16}} = \frac{{{a^2}\sqrt 5 }}{{96}}
\end{array}\)
Ta có: \(\frac{{{V_{S.AMN}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \frac{{SM}}{{SB}}.\frac{{SN}}{{SC}} = \frac{1}{4} \Rightarrow {V_{S.ABC}} = 4{V_{S.AMN}} = \frac{{{a^3}\sqrt 5 }}{{24}}\).
Đề thi thử THPT QG môn Toán năm 2019
Trường THPT Chuyên Thái Nguyên lần 1
Câu hỏi liên quan
-
Cho hàm số \(y=f(x)\) và có bảng biến thiên trên \(\left[ { - 5;7} \right)\) như sau:
.PNG)
Mệnh đề nào sau đây đúng?
-
Các khoảng nghịch biến của hàm số \(y = \frac{{2x + 1}}{{x - 1}}\) là
-
Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có ba chữ số (không nhất thiết khác nhau) được lập từ các chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9. Chọn ngẫu nhiên một số \(\overline {abc} \) từ S. Tính xác suất để số được chọn thỏa mãn \(a \le b \le c\).
-
Công thức tính diện tích xung quanh \(S_{xq}\) của hình nón có đường sinh l, bán kính đáy r là
-
Trên một mảnh đất hình vuông có diện tích 81 m2 người ta đào một cái ao nuôi cá hình trụ (như hình vẽ) sao cho tâm của hình tròn đáy trùng với tâm của mảnh đất. Ở giữa mép ao và mép mảnh đất người ta để lại một khoảng đất trống để đi lại, biết khoảng cách nhỏ nhất giữa mép ao và mép mảnh đất là x (m). Giả sử chiều sâu của ao cũng là x (m). Tính thể tích lớn nhất V của ao.
.png)
-
Đồ thị sau là đồ thị của hàm số nào trong bốn hàm số cho dưới đây
.png)
-
Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x \right) = 2x - 4\sqrt {6 - x} \) trên [-3;6]. Tổng M + m có giá trị là
-
Với a, b, c là các số thực dương tùy ý khác 1 và \({\log _a}c = x,{\log _b}c = y\). Khi đó giá trị của \({\log _c}\left( {ab} \right)\) là
-
Cho \(F(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {e^{{x^2}}}\left( {{x^3} - 4x} \right)\). Hàm số \(F\left( {{x^2} + x} \right)\) có bao nhiêu điểm cực trị?
-
Cho \(f\left( x \right) = {3^x}{.2^x}\). Khi đó, đạo hàm \(f'(x)\) của hàm số là
-
Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số \(y = - 2{x^3} + 3{x^2} + 1\)
-
Số nghiệm của bất phương trình \(2{\log _{\frac{1}{2}}}\left| {x - 1} \right| < {\log _{\frac{1}{2}}}x - 1\) là
-
Cho hàm số \(y=f(x)\) có bảng biến thiên sau:
.PNG)
Hàm số \(y = \left| {f\left( x \right)} \right|\) có bao nhiêu điểm cực trị?
-
Cho hàm số \(y = \frac{{mx - 4}}{{x + 1}}\) (với m là tham số thực) có bảng biến thiên dưới đây
.PNG)
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
-
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, \(\angle BSA = 60^\circ \). Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD?
-
Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng 3a. Điểm H thuộc cạnh AC với . Dựng đoạn thẳng SH vuông góc với mặt phẳng (ABC) với SH = 2a. Khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB) bằng
-
Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = x{\left( {x - 1} \right)^2}\left( {x - 2} \right)\). Tìm khoảng nghịch biến của đồ thị hàm số \(y=f(x)\).
-
Hàm số \(f\left( x \right) = C_{2019}^0 + C_{2019}^1x + C_{2019}^2{x^2} + ... + C_{2019}^{2019}{x^{2019}}\) có bao nhiêu điểm cực trị?
-
Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại A và AB = AC = a. Biết góc giữa hai đường thẳng AC' và BA' bằng 60°. Thể tích của khối lăng trụ ABC.A'B'C' bằng
-
Giá trị lớn nhất của hàm số $\( = {x^4} - 3{x^2} + 2\) trên đoạn [0;3] bằng
