Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đạo hàm đến cấp hai trên \(\mathbb{R}\) và \(f\left( 0 \right)=0;f''\left( x \right)>-\frac{1}{6},\forall x\in \mathbb{R}\). Biết hàm số \(y=f'\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ. Hàm số \(g\left( x \right)=\left| f\left( {{x}^{2}} \right)-mx \right|\), với m là tham số dương, có nhiều nhất bao nhiêu điểm cực trị?
.jpg.png)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTừ đồ thị hàm số \(y=f'\left( x \right)\) suy ra \(f'\left( x \right)>0,\forall x\in \left( 0;+\infty \right)\)
Do đó, \(f'\left( {{x}^{2}} \right)>0,\forall x\in \left( 0;+\infty \right)\)
Xét hàm số \(h\left( x \right)=f\left( {{x}^{2}} \right)-mx;h'\left( x \right)=2x.f'\left( {{x}^{2}} \right)-m\).
Với \(x<0,h'(x)<0\Rightarrow \) Phương trình \(h'\left( x \right)=0\) vô nghiệm.
Với \(x\ge 0\) ta có \(h''\left( x \right)=2f'\left( {{x}^{2}} \right)+4{{x}^{2}}f''\left( {{x}^{2}} \right)>2f'\left( {{x}^{2}} \right)-\frac{2{{x}^{2}}}{3}\)
Từ đồ thị hàm số \(y=f'\left( x \right)\) ta thấy với \(x\ge 0\), đồ thị hàm số \(y=f'\left( x \right)\) luôn nằm trên đường thẳng \(y=\frac{x}{3}\).
Do đó, \(2f'\left( {{x}^{2}} \right)-\frac{2{{x}^{2}}}{3}\ge 0,\forall x\ge 0\Rightarrow h''\left( x \right)\ge 0,\forall x\ge 0\) hay hàm số \(y=h'\left( x \right)\) đồng biến trên \((0;+\infty )\).
Mà \(h'\left( 0 \right)=-m<0\) và \(\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,h'\left( x \right)=+\infty \) nên phương trình \(h'\left( x \right)=0\) có một nghiệm duy nhất \({{x}_{0}}\in \left( 0;+\infty \right)\).
Bảng biến thiên:
.png)
Khi đó phương trình \(h\left( x \right)=0\) có 2 nghiệm phân biệt.
Đồng thời hàm số \(y=h\left( x \right)\) đạt cực tiểu tại \(x={{x}_{0}}\), giá trị cực tiểu \(h\left( {{x}_{0}} \right)<0\).
Vậy hàm số \(y=\left| h\left( x \right) \right|\) có 3 điểm cực trị.
Đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán
Trường THPT Chuyên Hạ Long lần 3
Câu hỏi liên quan
-
Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như sau:
.png)
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi K là trung điểm của SC. Mặt phẳng \(\left( P \right)\) qua AK và cắt các cạnh SB,SD lần lượt tại M và N. Đặt \({{V}_{1}}={{V}_{S.AMKN}},\text{ }V={{V}_{S.ABCD}}\). Tìm \(S=\max \frac{{{V}_{1}}}{V}+\min \frac{{{V}_{1}}}{V}\).
-
Cho hàm số \(f(x)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d\text{ }(a,b,c,d\in \mathbb{R})\). Đồ thị của hàm số \(y=f(x)\) như hình vẽ bên. Số nghiệm thực của phương trình \(2\left| f(x) \right|-3=0\) là
.jpg.png)
-
Cho hình nón đỉnh S, đáy là đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Biết rằng \(AB=BC=10a,\,AC=12a\), góc tạo bởi hai mặt phẳng \(\left( SAB \right)\) và \(\left( ABC \right)\) bằng \(45{}^\circ \). Tính thể tích V của khối nón đã cho.
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( P \right):2x-5y-z=0\) và đường thẳng \(d:\frac{x-1}{1}=\frac{y+1}{1}=\frac{z-3}{-1}\). Viết phương trình đường thẳng \(\Delta \) vuông góc mặt phẳng \(\left( P \right)\) tại giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng \(\left( P \right).\)
-
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( P \right):x+y+z-3=0\) và các điểm \(A\left( 3;2;4 \right),B\left( 5;3;7 \right)\). Mặt cầu \(\left( S \right)\) thay đổi đi qua \(A,B\) và cắt mặt phẳng \(\left( P \right)\) theo giao tuyến là đường tròn \(\left( C \right)\) có bán kính \(r=2\sqrt{2}\). Biết tâm của đường tròn \(\left( C \right)\) luôn nằm trên một đường tròn cố định \(\left( {{C}_{1}} \right)\). Bán kính của \(\left( {{C}_{1}} \right)\) là
-
Gọi \(S\) là tập chứa tất cả các giá trị nguyên của tham số m để bất phương trình \(\log \left( 60{{x}^{2}}+120x+10m-10 \right)>1+3\log \left( x+1 \right)\) có miền nghiệm chứa đúng 4 giá trị nguyên của biến \(x\). Số phần tử của S là
-
Cho cấp số nhân \(({{u}_{n}})\) với \({{u}_{1}}=2,\text{ }q=4\). Tổng của 5 số hạng đầu tiên bằng
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \(d:\left\{ \begin{align} & 1\text{x}=2+2t \\ & y=-1-3t \\ & z=1 \\ \end{align} \right.(t\in \mathbb{R})\). Xét đường thẳng \(\Delta :\frac{x-1}{1}=\frac{y-3}{m}=\frac{z+2}{-2}\), với m là tham số thực khác 0. Tìm tất cả các giá trị thực của m để đường thẳng Δ vuông góc với đường thẳng d.
-
Cho hình lăng trụ tam giác đều \(ABC.{A}'{B}'{C}'\) có \(AB=a,\) góc giữa đường thẳng \({A}'C\) và mặt phẳng \(\left( ABC \right)\) bằng 45°. Thể tích của khối lăng trụ \(ABC.{A}'{B}'{C}'\) bằng
-
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số \(y=\frac{2\text{x}-1}{x+5}\) trên đoạn \(\left[ -1;3 \right]\).
-
Tính đạo hàm của hàm số \(y={{\log }_{\frac{3}{4}}}\left| x \right|\).
-
Một bác thợ gốm làm một cái lọ có dạng khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y = \(\sqrt{1+x}\) và trục Ox quay quanh Ox. Biết đáy lọ và miệng lọ có đường kính lần lượt là 2 dm và 4 dm, khi đó thể tích của lọ là:
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm \({f}'\left( x \right)=\left( {{x}^{2}}+x \right){{\left( x-2 \right)}^{2}}\left( {{2}^{x}}-4 \right),\forall x\in \mathbb{R}.\) Số điểm cực trị của \(f\left( x \right)\) là
-
Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l} x = - 1 - 2t\\ y = t\\ z = - 1 + 3t \end{array} \right.;\,d':\left\{ \begin{array}{l} x = 2 + t\prime \\ y = - 1 + 2t\prime \\ z = - 2t\prime \end{array} \right.\) và mặt phẳng \((P):x+y+z+2=0.\) Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (P) và cắt cả hai đường thẳng \(d,{d}'\) có phương trình là
-
Kí hiệu \({{z}_{1}},\text{ }{{\text{z}}_{2}}\) là hai nghiệm phức của phương trình \({{z}^{2}}+(1-2i)z-1-i=0\). Giá trị của \(\left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right|\) bằng
-
Rút gọn biểu thức \(P={{x}^{\frac{1}{2}}}.\sqrt[4]{x}\) với x> 0
-
Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \(\overrightarrow{u}=(3;-4;5)\) và \(\overrightarrow{v}=(2m-n;1-n;m+1)\), với m, n là các tham số thực. Biết rằng \(\overrightarrow{u}=\overrightarrow{v}\) tính \(m+n\).
-
Trong không gian Oxyz, phương trình mặt cầu (S) có tâm \(I\left( 0;1;-1 \right)\) và tiếp xúc với mặt phẳng \(\left( P \right):2x-y+2z-3=0\) là
-
Cho A là tập các số tự nhiên có 7 chữ số. Lấy một số bất kỳ của tập A .Tính xác suất để lấy được số lẻ và chia hết cho 9.
