Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đạo hàm đến cấp hai trên \(\mathbb{R}\) và \(f\left( 0 \right)=0;f''\left( x \right)>-\frac{1}{6},\forall x\in \mathbb{R}\). Biết hàm số \(y=f'\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ. Hàm số \(g\left( x \right)=\left| f\left( {{x}^{2}} \right)-mx \right|\), với m là tham số dương, có nhiều nhất bao nhiêu điểm cực trị?
.jpg.png)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTừ đồ thị hàm số \(y=f'\left( x \right)\) suy ra \(f'\left( x \right)>0,\forall x\in \left( 0;+\infty \right)\)
Do đó, \(f'\left( {{x}^{2}} \right)>0,\forall x\in \left( 0;+\infty \right)\)
Xét hàm số \(h\left( x \right)=f\left( {{x}^{2}} \right)-mx;h'\left( x \right)=2x.f'\left( {{x}^{2}} \right)-m\).
Với \(x<0,h'(x)<0\Rightarrow \) Phương trình \(h'\left( x \right)=0\) vô nghiệm.
Với \(x\ge 0\) ta có \(h''\left( x \right)=2f'\left( {{x}^{2}} \right)+4{{x}^{2}}f''\left( {{x}^{2}} \right)>2f'\left( {{x}^{2}} \right)-\frac{2{{x}^{2}}}{3}\)
Từ đồ thị hàm số \(y=f'\left( x \right)\) ta thấy với \(x\ge 0\), đồ thị hàm số \(y=f'\left( x \right)\) luôn nằm trên đường thẳng \(y=\frac{x}{3}\).
Do đó, \(2f'\left( {{x}^{2}} \right)-\frac{2{{x}^{2}}}{3}\ge 0,\forall x\ge 0\Rightarrow h''\left( x \right)\ge 0,\forall x\ge 0\) hay hàm số \(y=h'\left( x \right)\) đồng biến trên \((0;+\infty )\).
Mà \(h'\left( 0 \right)=-m<0\) và \(\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,h'\left( x \right)=+\infty \) nên phương trình \(h'\left( x \right)=0\) có một nghiệm duy nhất \({{x}_{0}}\in \left( 0;+\infty \right)\).
Bảng biến thiên:
.png)
Khi đó phương trình \(h\left( x \right)=0\) có 2 nghiệm phân biệt.
Đồng thời hàm số \(y=h\left( x \right)\) đạt cực tiểu tại \(x={{x}_{0}}\), giá trị cực tiểu \(h\left( {{x}_{0}} \right)<0\).
Vậy hàm số \(y=\left| h\left( x \right) \right|\) có 3 điểm cực trị.
Đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán
Trường THPT Chuyên Hạ Long lần 3
Câu hỏi liên quan
-
Cho A là tập các số tự nhiên có 7 chữ số. Lấy một số bất kỳ của tập A .Tính xác suất để lấy được số lẻ và chia hết cho 9.
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ -3;3 \right]\) và có bảng xét dấu đạo hàm như hình bên.
.png)
Mệnh đề nào sau đây sai về hàm số đó?
-
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số \(y=\frac{2\text{x}-1}{x+5}\) trên đoạn \(\left[ -1;3 \right]\).
-
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( P \right):x+y+z-3=0\) và các điểm \(A\left( 3;2;4 \right),B\left( 5;3;7 \right)\). Mặt cầu \(\left( S \right)\) thay đổi đi qua \(A,B\) và cắt mặt phẳng \(\left( P \right)\) theo giao tuyến là đường tròn \(\left( C \right)\) có bán kính \(r=2\sqrt{2}\). Biết tâm của đường tròn \(\left( C \right)\) luôn nằm trên một đường tròn cố định \(\left( {{C}_{1}} \right)\). Bán kính của \(\left( {{C}_{1}} \right)\) là
-
Cho hàm số \(y=f(x)\) có bảng biến thiên như sau
.png)
Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là
-
Tính đạo hàm của hàm số \(y={{\log }_{\frac{3}{4}}}\left| x \right|\).
-
Xét các số phức z, w thỏa mãn \(\left| \text{w}-i \right|=2,\text{ }z+2=iw\). Gọi \({{z}_{1}},\text{ }{{\text{z}}_{2}}\) lần lượt là các số phức mà tại đó \(\left| z \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất và đạt giá trị lớn nhất. Mođun \(\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|\) bằng
-
Cho cấp số nhân \(({{u}_{n}})\) với \({{u}_{1}}=2,\text{ }q=4\). Tổng của 5 số hạng đầu tiên bằng
-
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2\left( x+2y+3z \right)=0\). Gọi A, B, C lần lượt là giao điểm (khác gốc tọa độ O) của mặt cầu (S) và các trục tọa độ Ox, Oy, Oz. Phương trình mặt phẳng \(\left( ABC \right)\) là
-
Trong mặt phẳng Oxy, cho hai điểm A, B như hình vẽ dưới đây. Trung điểm của đoạn thẳng AB biểu diễn số phức?
.jpg.png)
-
Kí hiệu \({{z}_{1}},\text{ }{{\text{z}}_{2}}\) là hai nghiệm phức của phương trình \({{z}^{2}}+(1-2i)z-1-i=0\). Giá trị của \(\left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right|\) bằng
-
Tích phân \(I=\int\limits_{0}^{1}{{{e}^{x+1}}}dx\) bằng
-
Tính thể tích của khối lập phương \(ABC\text{D}.{A}'{B}'{C}'{D}'\), biết \(A{C}'=2\text{a}\sqrt{3}\).
-
Phương trình \({{4}^{2x-4}}=16\) có nghiệm là
-
Cho các số thực a,b>1 thỏa mãn \({{a}^{{{\log }_{b}}a}}+{{16}^{{{\log }_{a}}\left( \frac{{{b}^{8}}}{{{a}^{3}}} \right)}}=12{{b}^{2}}.\) Giá trị của \({{a}^{3}}+{{b}^{3}}\) bằng
-
Rút gọn biểu thức \(P={{x}^{\frac{1}{2}}}.\sqrt[4]{x}\) với x> 0
-
Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn \(\left| z-3i \right|=\left| 1-i.\overline{z} \right|\) và \(z-\frac{9}{z}\) là số thuần ảo?
-
Cho hình lăng trụ tam giác đều \(ABC.{A}'{B}'{C}'\) có \(AB=a,\) góc giữa đường thẳng \({A}'C\) và mặt phẳng \(\left( ABC \right)\) bằng 45°. Thể tích của khối lăng trụ \(ABC.{A}'{B}'{C}'\) bằng
-
Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \(\overrightarrow{u}=(3;-4;5)\) và \(\overrightarrow{v}=(2m-n;1-n;m+1)\), với m, n là các tham số thực. Biết rằng \(\overrightarrow{u}=\overrightarrow{v}\) tính \(m+n\).
-
Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình vẽ?
.jpg.png)
