Cho hàm số $f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} 4x - \sqrt {4x + 9} \,\,\,{\rm{khi}}\,\,x > 0\\ 4a + {\tan ^2}\,x\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,x \le 0 \end{array} \right.$, đồng thời $I = \int\limits_{ - \frac{\pi }{4}}^4 {f\left( x \right)dx}  = \frac{{50}}{3}$. Tính a.

Nếu $\int\limits_{0}^{2}{\left[ 2f\left( x \right)+x \right]dx=5}$ thì $\int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)dx}$ bằng

Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục trên đoạn $\left[ -3;1 \right]$ và có đồ thị như hình vẽ dưới. Biết diện tích các hình A,B,C lần lượt là 27, 2 và 3. Tính tích phân $I=\int\limits_{0}^{2}{\left( {{x}^{3}}+x \right)}{f}'\left( {{x}^{2}}-3 \right)\text{d}x$.

Đồ thị của hàm số $y={{x}^{3}}-3x+2$ cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng

Có bao nhiêu cặp số $\left( x;\,y \right)$ thỏa mãn tính chất ${{\left( {{\log }_{y}}x \right)}^{2021}}={{\log }_{y}}{{x}^{2021}}$, ở đó x là số thực dương, y là số nguyên dương nhỏ hơn 2021.

Đạo hàm của hàm số $y={{4}^{x}}$ là:

Với a là số thực dương tùy ý $\sqrt[3]{{{a^9}}}$ bằng

Cho hàm số $f(x)$ có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào, trong các khoảng đã cho dưới đây?

Một người xây nhà xưởng hình hộp chữ nhật có diện tích mặt sàn là $1152{{\rm{m}}^{\rm{2}}}$ và chiều cao cố định. Người đó xây các bức tường xung quanh và bên trong để ngăn nhà xưởng thành ba phòng hình chữ nhật có kích thước như nhau (không kể trần nhà). Vậy cần phải xây các phòng theo kích thước nào để tiết kiệm chi phí nhất (bỏ qua độ dày các bức tường).

Cho số phức z=2-i. Môđun của số phức $\left( 1+i \right)z$ bằng

Trong không gian Oxyz, vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng đi qua gốc tọa độ O và điểm $M\left( -1;3;2 \right)$?

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và cạnh bên tạo với đáy một góc $60{}^\circ$. Khoảng cách từ S đến mặt phẳng $\left( ABCD \right)$ bằng

Trong không gian Oxyz, mặt cầu $\left( S \right):{{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{z}^{2}}=16$ có bán kính bằng

Một khối chóp có diện tích đáy bằng 18 và chiều cao bằng 12. Thể tích của khối chóp đó bằng

Trong không gian với hệ tọa độ Oxy, gọi d đi qua $A\left( 3;-1;1 \right)$, nằm trong mặt phẳng $\left( P \right):x-y+z-5=0$, đồng thời tạo với $\Delta :\frac{x}{1}=\frac{y-2}{2}=\frac{z}{2}$ một góc $45{}^\circ$. Phương trình đường thẳng d là

Tập nghiệm của bất phương trình ${\left( {\frac{1}{3}} \right)^{ - 3{x^2}}} < {3^{2x + 1}}$ là

Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=\frac{x+2}{2-x}$ là đường thẳng:

Cho cấp số cộng $\left( {{u}_{n}} \right)$ có ${{u}_{1}}=2$ và ${{u}_{5}}=18$. Giá trị của ${{u}_{3}}$ bằng

Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm ${f}'\left( x \right)$. Hàm số $y={f}'\left( x \right)$ liên tục trên tập số thực $\mathbb{R}$ và có đồ thị như hình vẽ.

Biết $f\left( -1 \right)=\frac{13}{4},\,f\left( 2 \right)=6$. Giá trị nhỏ nhất của hàm số $g\left( x \right)={{f}^{3}}\left( x \right)-3f\left( x \right)$ trên $\left[ -1;2 \right]$ bằng

Cho hàm số f(x) có bảng xét dấu của đạo hàm ${{f}^{\prime }}(x)$ như sau:

Hàm số f(x) có bao nhiêu điềm cực trị?

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt cầu có tâm $I\left( -1;\,\,2;\,\,0 \right)$ và đi qua điểm $M\left( 2;6;0 \right)$ có phương trình là: