Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\left[ {0;\pi } \right]\). Biết \(f\left( 0 \right) = 2e\) và \(f\left( x \right)\) luôn thỏa mãn đẳng thức \(f'\left( x \right) + \sin xf\left( x \right) = \cos x{e^{\cos x}}\,\,\forall x \in \left[ {0;\pi } \right]\). Tính \(I = \int\limits_0^\pi {f\left( x \right)dx} \) (làm tròn đến phần trăm)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{array}{l}f'\left( x \right) + \sin xf\left( x \right) = \cos x{e^{\cos x}}\,\,\forall x \in \left[ {0;\pi } \right]\\ \Leftrightarrow f'\left( x \right){e^{ - \cos x}} + \sin xf\left( x \right){e^{ - \cos x}} = \cos x\\ \Leftrightarrow \left[ {f\left( x \right){e^{ - \cos x}}} \right]' = \cos x\\ \Leftrightarrow \int\limits_0^x {\left[ {f\left( x \right){e^{ - \cos x}}} \right]'dx} = \int\limits_0^x {\cos xdx} \\ \Leftrightarrow \left. {f\left( x \right){e^{ - \cos x}}} \right|_0^x = \left. {\sin x} \right|_0^x\\ \Leftrightarrow f\left( x \right){e^{ - \cos x}} - f\left( 0 \right).{e^{ - 1}} = \sin x\\ \Leftrightarrow f\left( x \right){e^{ - \cos x}} - 2e.{e^{ - 1}} = \sin x\\ \Leftrightarrow f\left( x \right){e^{ - \cos x}} = \sin x + 2\\ \Leftrightarrow f\left( x \right) = \left( {\sin x + 2} \right){e^{\cos x}}\end{array}\)
Khi đó ta có \(I = \int\limits_0^\pi {f\left( x \right)dx} = \int\limits_0^\pi {\left( {\sin x + 2} \right){e^{\cos x}}dx} \approx 10,31\).
Chọn C.
Đề thi thử THPT QG năm 2022 môn Toán
Trường THPT Long Trường