Trong không gian $Oxyz$ cho mặt cầu $\left( S \right):\,\,{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y - 6z - 2 = 0$ và mặt phẳng $\left( \alpha  \right):\,\,4x + 3y - 12z + 10 = 0.$ Lập phương trình mặt phẳng $\left( \beta  \right)$ thỏa mãn đồng thời các điều kiện: Tiếp xúc với $\left( S \right),$ song song với $\left( \alpha  \right)$ và cắt trục $Oz$ ở điểm có cao độ dương. 

Cho tứ diện ABCD có $AB = AC,\,\,BD = DC$. Khẳng định nào sau đây đúng?

Đồ thị hình bên là của hàm số nào trong các hàm số dưới đây?

Một phân sân trường được định vị bởi các điểm $A,\,\,B,\,\,C,\,\,D$ như hình vẽ. Bước đầu chúng được lấy "thăng bằng" để có cùng độ cao, biết $ABCD$ là hình thang vuông ở $A$ và $B$ với độ dài $AB = 25m,\,\,AD = 15m,\,\,BC = 18m$. Do yêu cầu kỹ thuật, khi lát phẳng phần sân trường phải thoát nước về góc sân ở $C$ nên người ra lấy độ cao ở các điểm $B,\,\,C,\,\,D$ xuống thấp hơn so với độ cao ở $A$ là $10cm,\,\,acm,\,\,6cm$ tương ứng. Giá trị của $a$ là các số nào sau đây ? 

Cho $\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx}  = 3,\,\,\int\limits_0^1 {g\left( x \right)dx}  =  - 2$. Tính giá trị của biểu thức $I = \int\limits_0^1 {\left[ {2f\left( x \right) - 3g\left( x \right)} \right]dx}$. 

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số $y = f\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng nào sau đây: 

Cho mặt cầu $S\left( {O;R} \right)$ và mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$. Biết khoảng cách từ O tới  $\left( \alpha  \right)$ bằng d. Nếu $d < R$ thì giao tuyến của mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$ với mặt cầu $S\left( {O;R} \right)$ là đường tròn có bán kính bằng 

Hình lăng trụ $ABC.A'B'C'$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A,\,\,AB = a,\,\,AC = 2a$. Hình chiếu vuông góc của $A'$ lên mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ là điểm $I$ thuộc cạnh $BC$. Tính khoảng cách từ $A$ tới mặt phẳng $\left( {A'BC} \right)$.

Hàm số $f\left( x \right) = {\log _3}\left( {{x^2} - 4x} \right)$ có đạo hàm trên miền xác định là $f'\left( x \right).$ Chọn kết quả đúng. 

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$ đi qua $M\left( {0; - 1;4} \right)$ và song song với giá của hai vectơ$\overrightarrow u \left( {3;2;1} \right)$ và $\overrightarrow v  = \left( { - 3;0;1} \right)$, phương trình của mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$ là: 

Thể tích của một khối lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng $a\sqrt 2$ là:

Đồ thị của hàm số $y = {x^3} - 3x + 1$ có điểm cực tiểu là 

Trong không gian $Oxyz$ cho điểm $A\left( {1;\,1;\,2} \right)$ và $B\left( {3;\,4;\,5} \right).$ Tọa độ vecto $\overrightarrow {AB}$ là: 

Cho hình chóp $S.ABCD$ đáy là hình thoi tâm $O$ và $SO \bot \left( {ABCD} \right)$, $SO = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3},\,\,BC = SB = a$. Số đo góc giữa 2 mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$ và $\left( {SCD} \right)$ là: 

Trong không gian Oxyz, cho $A\left( {1;3;5} \right),\,\,B\left( { - 5; - 3; - 1} \right)$. Phương trình mặt cầu đường kính AB là: 

Trong không gian $Oxyz$ khoảng cách giữa hai mặt phẳng $\left( P \right):\,\,x + 2y + 3z - 1 = 0$ và $\left( Q \right):\,\,x + 2y + 3z + 6 = 0$ là: 

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên đoạn $\left[ { - 2;\,6} \right],$ có đồ thị hàm số như hình vẽ. Gọi $M,\,m$ lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của $f\left( x \right)$ trên miền $\left[ { - 2;\,6} \right].$ Tính giá trị của biểu thức $T = 2M + 3m.$

Trong không gian $Oxyz$ cho điểm $I\left( {2;\,3;\,4} \right)$ và $A\left( {1;\,2;\,3} \right).$ Phương trình mặt cầu tâm $I$ và đi qua $A$ có phương trình là: 

Trong hệ trục tọa độ $Oxyz$ cho điểm $A\left( { - 1;3;5} \right),\,\,B\left( {2;6; - 1} \right),\,\,C\left( { - 4; - 12;5} \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right):\,\,x + 2y - 2z - 5 = 0$. Gọi $M$ là điểm di động trên $\left( P \right)$. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $S = \left| {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC} } \right|$ là: 

Một khối trụ bán kính đáy là $a\sqrt 3 ,$ chiều cao là $2a\sqrt 3 .$ Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp khối trụ.

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ là $f'\left( x \right) = \left( {2x + 1} \right)\left( {x - 3} \right){\left( {x + 5} \right)^4}.$ Hàm số đã cho có tất cả bao nhiêu điểm cực trị?