Trong không gian \(Oxyz\) cho mặt cầu \(\left( S \right):\,\,{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y - 6z - 2 = 0\) và mặt phẳng \(\left( \alpha \right):\,\,4x + 3y - 12z + 10 = 0.\) Lập phương trình mặt phẳng \(\left( \beta \right)\) thỏa mãn đồng thời các điều kiện: Tiếp xúc với \(\left( S \right),\) song song với \(\left( \alpha \right)\) và cắt trục \(Oz\) ở điểm có cao độ dương.
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có: \(\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left( {4;\,3; - 12} \right).\)
Vì \(\left( \alpha \right)//\left( \beta \right) \Rightarrow \left( \beta \right)\) nhận \(\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left( {4;\,3; - 12} \right)\) làm VTPT.
\( \Rightarrow \left( \beta \right):\,\,4x + 3y - 12z + d = 0.\,\,\,\left( {d \ne 10} \right)\)
Ta có: \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {1;\,2;\,3} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {1 + {2^2} + {3^2} + 2} = 4.\)
Mặt phẳng \(\left( \beta \right)\) tiếp xúc với mặt cầu \(\left( S \right) \Rightarrow d\left( {I;\,\left( \beta \right)} \right) = R\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {4.1 + 3.2 - 12.3 + d} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {3^2} + {{12}^2}} }} = 4\\ \Leftrightarrow \left| {d - 26} \right| = 52 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}d - 26 = 52\\d - 26 = - 52\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}d = 78\\d = - 26\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\left( {{\beta _1}} \right):\,\,4x + 3y - 12z + 78 = 0\\\left( {{\beta _2}} \right):\,\,4x + 3y - 12z - 26 = 0\end{array} \right.\end{array}\)
Gọi \(M\left( {0;\,0;\,{z_0}} \right)\,\,\,\left( {{z_0} > 0} \right)\) là giao điểm của \(Oz\) và các mặt phẳng \(\left( {{\beta _1}} \right),\,\,\left( {{\beta _2}} \right).\)
\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}M \in \left( {{\beta _1}} \right) \Rightarrow - 12{z_0} + 78 = 0 \Leftrightarrow {z_0} = \dfrac{{13}}{2}\,\,\left( {tm} \right)\\M \in \left( {{\beta _2}} \right) \Rightarrow - 12{z_0} - 26 = 0 \Leftrightarrow {z_0} = - \dfrac{{13}}{6}\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\)
Chọn C.
Đề thi thử THPT QG năm 2022 môn Toán
Trường THPT Long Trường
Câu hỏi liên quan
-
Đồ thị hình bên là của hàm số nào trong các hàm số dưới đây?
.JPG)
-
Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^4} - 2m{x^2} + 4 - 2{m^2}\). Có tất cả bao nhiêu số nguyên \(m \in \left( { - 10;10} \right)\) để hàm số \(y = \left| {f\left( x \right)} \right|\) có đúng 3 cực trị.
-
Đồ thị của hàm số \(y = {x^3} - 3x + 1\) có điểm cực tiểu là
-
Cho \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} = 3,\,\,\int\limits_0^1 {g\left( x \right)dx} = - 2\). Tính giá trị của biểu thức \(I = \int\limits_0^1 {\left[ {2f\left( x \right) - 3g\left( x \right)} \right]dx} \).
-
Cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({u_1} = 123\) và \({u_3} - {u_{15}} = 84.\) Số hạng \({u_{17}}\) có giá trị là:
-
Cho hàm số \(y = f\left( x \right),\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có bảng biến thiên như hình vẽ bên. Tìm số nghiệm thực của phương trình \(2f\left( x \right) + 7 = 0.\)
.JPG)
-
Cho khối tứ diện \(ABCD\) có thể tích là \(V\). Gọi \(E,\,\,F,\,\,G\) lần lượt là trung điểm \(BC,\,\,BD,\,\,CD\) và \(M,\,\,N,\,\,P,\,\,Q\) lần lượt là trọng tâm \(\Delta ABC,\,\,\Delta ABD,\,\,\Delta ACD,\,\,\Delta BCD\). Tính thể tích khối tứ diện \(MNPQ\) theo \(V\).
.JPG)
-
Hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(A,\,\,AB = a,\,\,AC = 2a\). Hình chiếu vuông góc của \(A'\) lên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là điểm \(I\) thuộc cạnh \(BC\). Tính khoảng cách từ \(A\) tới mặt phẳng \(\left( {A'BC} \right)\).
.JPG)
-
Cho \(x,\,\,y\) thỏa mãn \({\log _3}\dfrac{{x + y}}{{{x^2} + {y^2} + xy + 2}} = x\left( {x - 9} \right) + y\left( {y - 9} \right) + xy\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = \dfrac{{3x + 2y - 9}}{{x + y - 10}}\) khi \(x,\,\,y\) thay đổi.
-
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy,\) cho đường tròn \(\left( S \right)\) có tâm \(I\) nằm trên đường thẳng \(y = - x,\) bán kính bằng \(R = 3\) và tiếp xúc với các trục tọa độ. Lập phương trình của \(\left( S \right),\) biết hoành độ tâm \(I\) là số dương.
-
Trong hệ trục tọa độ \(Oxyz\) cho điểm \(A\left( { - 1;3;5} \right),\,\,B\left( {2;6; - 1} \right),\,\,C\left( { - 4; - 12;5} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,x + 2y - 2z - 5 = 0\). Gọi \(M\) là điểm di động trên \(\left( P \right)\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(S = \left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right|\) là:
-
Hệ số của số hạng chứa \({x^4}\) trong khai triển \({\left( {\dfrac{x}{3} - \dfrac{3}{x}} \right)^{12}},\,\,\left( {x \ne 0} \right)\)?
-
Với \(a,\,b\) là hai số dương tùy ý thì \(\log \left( {{a^3}{b^2}} \right)\) có giá trị bằng biểu thức nào sau đấy?
-
Cho hình chóp \(S.ABCD\) đáy là hình thoi tâm \(O\) và \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\), \(SO = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3},\,\,BC = SB = a\). Số đo góc giữa 2 mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) và \(\left( {SCD} \right)\) là:
.JPG)
-
Cho khối lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có \(BB' = a,\) đáy \(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(B,\,\,AC = a\sqrt 2 .\) Tính thể tích lăng trụ.
.JPG)
-
Một vật chuyển động với gia tốc \(a\left( t \right) = 6t\,\,\left( {m/{s^2}} \right)\). Vân tốc của vật tại thời điểm \(t = 2\) giây là \(17\,m/s\). Quãng đường vật đó đi được trong khoảng thời gian tử thời điểm \(t = 4\) giây đến thời điểm \(t = 10\) giây là:
-
Cho tam giác \(SAB\) vuông tại \(A,\,\,\angle ABS = {60^0}\). Phân giác của góc \(\angle ABS\) cắt\(SA\) tại \(I\). Vẽ nửa đường tròn tâm \(I\), bán kính \(IA\) (như hình vẽ). Cho miền tam giác \(SAB\) và nửa hình tròn quay xung quanh trục \(SA\) tạo nên các khối tròn xoay có thể tích tương ứng là \({V_1},\,\,{V_2}\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
.JPG)
-
Thể tích của một khối lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng \(a\sqrt 2 \) là:
-
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) có đồ thị như ở hình vẽ bên. Phương trình \(f\left( {f\left( x \right) - 1} \right) = 0\) có tất cả bao nhiêu nghiệm thực phân biệt ?
-
Cho đồ thị hàm số \(f\left( x \right) = 2{x^3} + mx + 3\) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ \(a,\,\,b,\,\,c\). Tính giá trị của biểu thức \(P = \dfrac{1}{{f'\left( a \right)}} + \dfrac{1}{{f'\left( b \right)}} + \dfrac{1}{{f'\left( c \right)}}\).
