Cho bất phương trình \({{9}^{x}}+\left( m-1 \right){{.3}^{x}}+m>0\)\(\left( 1 \right)\). Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để bất phương trình \(\left( 1 \right)\) có nghiệm đúng \(\forall x\ge 1\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐặt \(t={{3}^{x}}\), \(t\left( x \right)\) là hàm đồng biến trên \(\mathbb{R}\), \(\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,t=+\infty \)\(\Rightarrow \) với \(x\in \left[ 1;\,+\infty \right)\), thì \(t\in \left[ 3;\,+\infty \right)\).
Ta có: \(\left( 1 \right)\Leftrightarrow {{t}^{2}}+\left( m-1 \right)t+m>0\)\(\left( 2 \right)\)
Để \(\left( 1 \right)\) có nghiệm đúng \(\forall x\ge 1\) thì \(\left( 2 \right)\) có nghiệm đúng \(\forall t\ge 3\)
\(\Leftrightarrow {{t}^{2}}+\left( m-1 \right)t+m>0\ \ \forall t\ge 3\)\(\Leftrightarrow {{t}^{2}}-t>-m\left( t+1 \right)\)\(\forall t\ge 3\)\(\Leftrightarrow \frac{{{t}^{2}}-t}{t+1}>-m\)\(\forall t\ge 3\)\(\left( 3 \right)\)
Xét hàm số \(f\left( t \right)=\frac{{{t}^{2}}-t}{t+1}\) có \({f}'\left( t \right)=\frac{\left( 2t-1 \right)\left( t+1 \right)-\left( {{t}^{2}}-t \right)}{{{\left( t+1 \right)}^{2}}}=\frac{2{{t}^{2}}+t-1-{{t}^{2}}+t}{{{\left( t+1 \right)}^{2}}}=\frac{{{t}^{2}}+2t-1}{{{\left( t+1 \right)}^{2}}}\)
Với \(t\ge 3\), \({{t}^{2}}+2t-1\ge {{3}^{2}}+2.3-1>0\) nên \({f}'\left( t \right)>0\)\(\forall t\in \left[ 3;\,+\infty \right)\)\(\Rightarrow \underset{\left[ 3;\,+\infty \right)}{\mathop{\min }}\,f\left( t \right)=f\left( 3 \right)=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}\)
Do đó \(\left( 3 \right)\Leftrightarrow -m<\underset{\left[ 3;\,+\infty \right)}{\mathop{\min }}\,f\left( t \right)=\frac{3}{2}\)\(\Leftrightarrow m>-\frac{3}{2}\).
Đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán
Trường THPT Nguyễn Khuyến lần 3
Câu hỏi liên quan
-
Thể tích của một khối lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng \(a\sqrt{2}\) là:
-
Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SA=a, ABCD là hình chữ nhật và \(AB=a,\,\,AD=a\sqrt{2}\). Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng \(\left( ABCD \right)\) là
-
Gọi \(a\,,\,b\) lần lượt là phần thực và phần ảo của số phức z=-3+2i. Giá trị của \(a\,-b\) bằng
-
Đường thẳng \(\left( \Delta \right)\) là giao của hai mặt phẳng \(x+z-5=0\) và \(x-2y-z+3=0\) thì có vecto chỉ phương là:
-
Biết rằng \(x{{\operatorname{e}}^{x}}\) là một nguyên hàm của \(f\left( -x \right)\) trên khoảng \(\left( -\infty ;+\infty \right)\). Gọi \(f\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \({f}'\left( x \right){{\operatorname{e}}^{x}}\) thỏa mãn \(f\left( 0 \right)=1\), giá trị của \(f\left( -1 \right)\) bằng
-
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho tứ diện ABCD có tọa độ các điểm \(A\left( 1;1;1 \right), B\left( 2;0;2 \right), C\left( -1;-1;0 \right), D\left( 0;3;4 \right)\). Trên các cạnh AB, AC, AD lần lượt lấy các điểm \({B}',{C}',{D}'\) sao cho \(\frac{AB}{A{B}'}+\frac{AC}{A{C}'}+\frac{AD}{A{D}'}=4\) và tứ diện \(A{B}'{C}'{D}'\) có thể tích nhỏ nhất. Phương trình mặt phẳng \(\left( {B}'{C}'{D}' \right)\) có dạng là ax+by+cz-d=0. Tính a-b+c+d
-
Cho số phức z có điểm biểu diễn trong mặt phẳng tọa độ Oxy là điểm \(M\left( 3;-5 \right)\). Xác định số phức liên hợp \(\overline{z}\) của z.
-
Hàm số \(y={{\log }_{a}}x\) và \(y={{\log }_{b}}x\) có đồ thị như hình vẽ dưới đây.
.jpg.png)
Đường thẳng \(y=3\) cắt hai đồ thị tại các điểm có hoành độ \({{x}_{1}}\), \({{x}_{2}}\). Biết rằng \({{x}_{2}}=2{{x}_{1}}\), giá trị của \(\frac{a}{b}\) bằng
-
Phương trình \({{\log }_{2}}\left( x+1 \right)=2\) có nghiệm là
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn \(f(x)+f(-x)=2\cos 2x,\,\forall x\in \mathbb{R}\). Khi đó \(\int\limits_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}{f\left( x \right)\text{d}x}\) bằng
-
Một cái thùng đựng đầy nước được tạo thành từ việc cắt mặt xung quanh của một hình nón bởi một mặt phẳng vuông góc với trục của hình nón. Miệng thùng là đường tròn có bán kính bằng ba lần bán kính mặt đáy của thùng. Người ta thả vào đó một khối cầu có đường kính bằng \(\frac{3}{2}\)chiều cao của thùng nước và đo được thể tích nước tràn ra ngoài là \(54\sqrt{3}\pi \) (dm3). Biết rằng khối cầu tiếp xúc với mặt trong của thùng và đúng một nửa của khối cầu đã chìm trong nước (hình vẽ). Thể tích nước còn lại trong thùng có giá trị nào sau đây?
.png)
-
Cho cấp số cộng \(\left( {{u}_{n}} \right)\) có số hạng đầu \({{u}_{1}}=2\) và công sai d=5. Giá trị \({{u}_{4}}\) bằng
-
Tiếp tuyến đồ thị hàm số \(y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+1\) tại điểm A (3;1) là đường thẳng
-
Cho tập hợp \(S=\left\{ 1;2;3;...;17 \right\}\) gồm 17 số nguyên dương đầu tiên. Chọn ngẫu nhiên một tập con có 3 phần tử của tập hợp S. Tính xác suất để tập hợp được chọn có tổng các phần tử chia hết cho 3.
-
Cho đồ thị hàm đa thức \(y=f\left( x \right)\) như hình vẽ. Hỏi hàm số \(g\left( x \right)=f\left( x \right).f\left( 2x+1 \right)\)có tất cả bao nhiêu điểm cực trị
.jpg.png)
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) thỏa mãn \(\int\limits_{1}^{3}{f\left( x \right)}dx=5\) và \(\int\limits_{-1}^{3}{f\left( x \right)}dx=1\). Tính tích phân \(I=\int\limits_{-1}^{1}{f\left( x \right)}dx\).
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right)=\left( x-1 \right)\left( {{x}^{2}}-4 \right)\left( {{x}^{3}}-1 \right),\forall x\in \mathbb{R}\). Số điểm cực trị của hàm số đã cho là
-
Cho mặt cầu có bán kính R = 3. Diện tích của mặt cầu đã cho bằng
-
Giá trị lớn nhất của hàm số \(f\left( x \right)=\frac{x}{x+3}\) trên đoạn \(\left[ -2;3 \right]\) bằng
-
Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
.jpg.png)
