Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại B, \(AB=2\text{a},BC=a\sqrt{2}\), cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và \(SA=a\sqrt{5}\). Tính diện tích \({{S}_{mc}}\) của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai
Gọi M là trung điểm AC, I là trung điểm SC
\(\Rightarrow IS=IC\left( 1 \right)\)
Vì ∆ ABC vuông tại B nên M là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ ABC
Có MI // SA ⇒ MI ⊥ (ABC)
\(\Rightarrow IA=IB=IC\left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2)⇒ I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
Bán kính và diện tích mặt cầu lần lượt là
\(\begin{array}{l}R = IC = \frac{1}{2}SC = \frac{1}{2}\sqrt {S{A^2} + A{C^2}} = \frac{1}{2}\sqrt {S{A^2} + A{B^2} + B{C^2}} = \frac{1}{2}\sqrt {5{a^2} + 4{a^2} + 2{a^2}} = \frac{{a\sqrt {11} }}{2}\\S = 4\pi {R^2} = 11\pi {a^2}\end{array}\)
Chọn đáp án A
