Một hình trụ có thể tích V không đổi. Tính mối quan hệ giữa bán kính đáy và chiều cao hình trụ sao cho diện tích toàn phần đạt giá trị nhỏ nhất.
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.PNG)
Gọi R và \(h\) là bán kính đáy và chiều cao hình trụ.
Ta có: \(V=\pi {{R}^{2}}h\) (không đổi)
\({{S}_{tp}}={{S}_{xq}}=2{{S}_{\text{day}}}=2\pi Rh+2\pi {{R}^{2}}=\left( Rh+{{R}^{2}} \right)2\pi \)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số dương,
Ta có: \(\frac{Rh}{2}+\frac{Rh}{2}+{{R}^{2}}\ge 3\sqrt[3]{\frac{Rh}{2}.\frac{Rh}{2}.{{R}^{2}}}\)
\(\Leftrightarrow Rh+{{R}^{2}}\ge 3\sqrt[3]{\frac{{{R}^{4}}{{h}^{2}}}{4}}=3\sqrt[3]{\frac{{{V}^{2}}}{{{\pi }^{2}}4}}\)
\(\Leftrightarrow {{S}_{tp}}\ge 3\left( 2\pi \right)\sqrt[3]{\frac{{{V}^{2}}}{{{\pi }^{2}}4}}\)(hằng số)
Do đó: S toàn phần đạt giá trị nhỏ nhất\(\Leftrightarrow \frac{Rh}{2}={{R}^{2}}\Leftrightarrow R=\frac{h}{2}.\)
Câu hỏi liên quan
-
Mỗi đỉnh của một đa diện là đỉnh chung của ít nhất bao nhiêu mặt?
-
Cho khối tứ diện ABCD. Lấy một điểm M nằm giữa A và B, một điểm N nằm giữa C và D Bằng hai mặt phẳng (MCD) và (NAB) ta chia khối tứ diện đã cho thành 4 khối tứ diện:
-
Phép đối xứng qua mặt phẳng (P) biến điểm M,N thành M',N' thì:
-
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
-
Số mặt phẳng đối xứng của tứ diện đều là:
-
Khối đa diện có mười hai mặt đều có số đỉnh, số cạnh, số mặt lần lượt là:
-
Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Mặt phẳng (SAC) chia khối chóp S.ABCD thành mấy khối tứ diện.
-
Cắt khối lăng trụ MNP.M'N'P' bởi các mặt phẳng (MN'P') và (MNP') ta được những khối đa diện nào?
-
Kí hiệu M là số mặt, Đ là số đỉnh và C là số cạnh của một hình bát diện đều. Khi đó bộ (M, Đ, C) tương ứng với bộ số nào?
-
Hình nào dưới đây không phải là hình đa diện?
-
Hãy chọn mệnh đề đúng:
-
Trong không gian một tam giác đều có mấy mặt phẳng đối xứng?
-
Phép đối xứng qua mặt phẳng biến một điểm thuộc mặt phẳng đó thành:
-
Hình đa diện đều nào dưới đây có tất cả các mặt không phải là tam giác đều?
-
Biết (H) là đa diện đều loại {3;5} với số đỉnh và số cạnh lần lượt là aa và bb. Tính a−b.
-
Cắt khối lăng trụ MNP.M'N'P' bởi các mặt phẳng (MN'P') và (MNP') ta được những khối đa diện nào?
-
Trong tất cả các hình đa diện đều, hình nào có số mặt nhiều nhất?
-
Hình chóp tứ giác đều S.ABCD có mấy mặt phẳng đối xứng
-
Một hình lăng trụ có 2018 mặt, hỏi hình lăng trụ đó có tất cả bao nhiêu cạnh?
-
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
Cho hình đa diện (H) có các mặt là nhứng tam giác, mỗi đỉnh là đỉnh chung của đúng 3 mặt. Gọi số các đỉnh, cạnh, mặt của hình đa diện (H) lần lượt là d, c, m. Khi đó:
