Cho phương trình: \(m{{2}^{{{x}^{2}}-5x+6}}+{{2}^{1-{{x}^{2}}}}={{2.2}^{6-5x}}+m\text{ }\left( 1 \right)\). Tìm m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt.
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiViết phương trình lại dưới dạng:
\(\begin{array}{l} m{2^{{x^2} - 5x + 6}} + {2^{1 - {x^2}}} = {2.2^{6 - 5x}} + m\\ \Leftrightarrow m{2^{{x^2} - 5x + 6}} + {2^{1 - {x^2}}} = {2^{{x^2} - 5x + 6 + 1 - {x^2}}} + m\\ \Leftrightarrow m{2^{{x^2} - 5x + 6}} + {2^{1 - {x^2}}} = {2^{{x^2} - 5x + 6}}{.2^{1 - {x^2}}} + m \end{array}\)
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l} u = {2^{{x^2} - 5x + 6}}\\ v = {2^{1 - {x^2}}} \end{array} \right.;u,v > 0\). Khi đó phương trình tương đương:
\(mu+ v = uv + m \Leftrightarrow \left( {u - 1} \right)\left( {v - m} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} u = 1\\ v = m \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {2^{{x^2} - 5x + 6}} = 0\\ {2^{1 - {x^2}}} = m \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 3\\ x = 2\\ {2^{1 - {x^2}}} = m\left( * \right) \end{array} \right.\)
Để (1) có 4 nghiệm phân biệt thì (*) có 2 nghiệm phân bieeth khác 2 và 3.
\(\left( * \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m > 0\\ 1 - {x^2} = {\log _2}m \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m > 0\\ {x^2} = 1 - {\log _2}m \end{array} \right.\)
Khi đó ĐK là:
\(\left\{ \begin{array}{l} m > 0\\ 1 - {\log _2}m > 0\\ 1 - {\log _2}m \ne 0\\ 1 - {\log _2}m \ne 9 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} m > 0\\ m < 2\\ m \ne \frac{1}{8}\\ m \ne \frac{1}{{256}} \end{array} \right. \Leftrightarrow m \in \left( {0;2} \right)\backslash \left\{ {\frac{1}{8};\frac{1}{{256}}} \right\}\)
