Cho mặt phẳng (P):2x – y – 2z – 2 = 0 và đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = – t\\y = 2t – 1\\z = t + 2\end{array} \right.\).
Viết phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm I thuộc d, I có hoành độ dương, biết I cách \(\left( P \right)\) một khoảng bằng 2 và \(\left( S \right)\) cắt \(\left( P \right)\) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 3.
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiGọi \(I\left( { – t;2t – 1;t + 2} \right) \in d:\) là tâm của mặt cầu (S) và R là bán kính của (S).
Theo giả thiết : \(R = \sqrt {{{\left[ {d\left( {I;\left( P \right)} \right)} \right]}^2} + {r^2}} = \sqrt {4 + 9} = \sqrt {13} \).
Mặt khác: \(d\left( {I;\left( P \right)} \right) = 2 \Leftrightarrow \frac{{\left| { – 2t – 2t + 1 – 2t – 4 – 2} \right|}}{{\sqrt {4 + 1 + 4} }} = 2 \Leftrightarrow \left| {6t + 5} \right| = 6 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \frac{1}{6}\\t = – \frac{{11}}{6}\end{array} \right.\)
Với \(t = \frac{1}{6}\) ta có \(I\left( { – \frac{1}{6}; – \frac{2}{3};\frac{{13}}{6}} \right)\) (loại).
Với \(t = – \frac{{11}}{6}\) ta có \(I\left( {\frac{{11}}{6}; – \frac{2}{3};\frac{1}{6}} \right)\) (thỏa mãn).
Vậy \(\left( S \right):{\rm{ }}{\left( {x – \frac{{11}}{6}} \right)^2} + {\left( {y + \frac{2}{3}} \right)^2} + {\left( {z – \frac{1}{6}} \right)^2} = 13\)
