Điều kiện để $\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} + Ax + By + Cz + D = 0$ là một mặt cầu là:

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $2\sqrt{2}$, cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy và $SA=3$. Mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$ qua $A$ và vuông góc với $SC$ cắt cạnh $SB$, $SC$, $SD$ lần lượt tại các điểm $M$, $N$, \)P\). Thể tích $V$ của khối cầu ngoại tiếp tứ diện $CMNP$.

Người ta muốn xây một chiếc bể chứa nước có hình dạng là một khối hộp chữ nhật không nắp có thể tích bằng 500/3 m³. Biết đáy hồ là một hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng và giá thuê thợ xây là 100.000 đồng /m². Tìm kích thước của hồ để chi phí thuê nhân công ít nhất. Khi đó chi phí thuê nhân công là

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(-1;3; 2) và mặt phẳng $(P): 3 x+6 y-2 z-4=0$. Phương trình mặt cầu tâm A, tiếp xúc với mặt phẳng (P) là 

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình mặt cầu tâm $I(1 ; 2 ;-4)$ và thể tích của khối cầu tương ứng bằng $36\pi$ là:

Trong không gian với hệ toạ độ , cho mặt cầu $(S): x^{2}+y^{2}+z^{2}-4 x+2 y+6 z-2=0$.Tìm của toạ độ tâm và tính bán kính 

Phương trình nào sau đây là phương trình mặt cầu có tâm $I\left( { – 1;1;0} \right){\rm{ }}?$

Cho mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm I(1;2;0). Một mặt phẳng (P) cắt $\left( S \right)$ theo giao tuyến là một đường tròn $\left( C \right)$ Biết diện tích lớn nhất của $\left( C \right)$ bằng $3\pi .$ Phương trình của $\left( S \right)$ là

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(0;1;2) và B(2;−1;4). Phương trình mặt cầu đường kính AB là

Phương trình mặt cầu $\left( S \right)$ tâm I(1;1;2) và tiếp xúc với mặt phẳng $\left( P \right):x – 2y + z – 7 = 0$

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm $A\left( { – 1\,;\,2\,;\,3} \right)$ và $B\left( {2\,;\,0\,;\, – 2} \right)$. Phương trình mặt cầu có tâm nằm trên trục Ox và đi qua hai điểm A và $B có phương trình là

Đường kính của một khối cầu bằng cạnh của một khối lập phương. Gọi V₁ là thể tích khối lập phương, V₂ là thể tích khối cầu. Tính tỉ số $\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}}$

Cho hai điểm A, B phân biệt. Tập hợp tâm những mặt cầu đi qua A và B là

Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy là a, cạnh bên 2a. Tìm bán kính khối cầu ngoại tiếp lăng trụ.

Cho mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( {1;2; – 4} \right)$ và diện tích bằng $36\pi$. Phương trình của $\left( S \right)$ là:

Mặt cầu đi qua bốn điểm A(2;2;2), B(4;0;2), C(4;2;0) và D(4;2;2) có tọa độ tâm I là

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $\left( S \right){\rm{: }}{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x – 4y – 2z + \frac{9}{2} = 0$ và hai điểm $A\left( {0;2;0} \right), B\left( {2; – 6; – 2} \right)$. Điểm $M\left( {a;b;c} \right)$ thuộc $\left( S \right)$ thỏa mãn $\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB}$ có giá trị nhỏ nhất. Tổng a + b + c bằng

Người ta thả một viên bi sắt có dạng hình cầu với bán kính nhỏ hơn 4,5cm vào một chiếc cốc hình trụ đang chứa nước thì viên bi sắt đó tiếp xúc với đáy cốc và tiếp xúc với mặt nước sau khi dâng (tham khảo hình vẽ bên). Biết rằng bán kính của phần trong đáy cốc bằng 5,4cm và chiều cao của mực nước ban đầu trong lòng cốc bằng 4,5cm. Bán kính của viên bi sắt đó bằng:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, phương trình mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( { – 1;2;3} \right)$ cắt mặt phẳng $\left( \beta \right):2x – y + 2z – 8 = 0$ theo một hình tròn giao tuyến có chu vi bằng bằng $8\pi$ có diện tích bằng

Cho mặt cầu S(O;R) và đường thẳng Δ. Biết khoảng cách từ O tới Δ bằng d. Đường thẳng Δ tiếp xúc với S(O; R) khi thỏa mãn điều kiện nào trong các điều kiện sau ?

Phương trình mặt cầu $\left( S \right)$ có đường kính AB với $A\left( {2;1;1} \right), B\left( {0;3; – 1} \right)$ là: