Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) cạnh \(a.\) Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(A'B'\) và \(BC.\) Mặt phẳng \(\left( DMN \right)\) chia khối lập phương đã cho thành hai khối đa diện. Gọi \(\left( H \right)\) là khối đa diện chứa đỉnh \(A,\left( H' \right)\) là khối đa diện còn lại. Tính tỉ số \(\frac{{{V}_{\left( H \right)}}}{{{V}_{\left( H' \right)}}}\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai
\(AN\cap ND=J,JM\cap BB'=K\) . Ta có: \(BK=2B'K;I\in A'D'.\)
Ta có: \(A'I=\frac{1}{4}D'D'\) . Suy ra thiết diện là \(KMIDN\)
\({V_{\left( H \right)}} = {V_{ABA'KMIDN}} = {V_{D.ABKMA'}} + {V_{D.BKN}} + {V_{D.MA'I}}\)
\(\begin{array}{l} = \frac{1}{3}a.\left( {{a^2} - \frac{1}{2}.\frac{a}{3}.\frac{a}{2}} \right) + \frac{1}{3}a.\frac{1}{2}.\frac{a}{2}.\frac{{2a}}{3} + \frac{1}{3}.a.\frac{1}{2}.\frac{a}{2}.\frac{a}{4} = \frac{{55{a^3}}}{{144}}\\ \Rightarrow {V_{\left( {H'} \right)}} = {a^3} - \frac{{55{a^3}}}{{144}} = \frac{{89{a^3}}}{{144}} \Rightarrow \frac{{{V_H}}}{{{V_{H'}}}} = \frac{{55}}{{89}}. \end{array}\)
