Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 0;\,\,-1 \right\}\) thỏa mãn \(\left\{ \begin{array}{l} f\left( 1 \right) = - 2\ln 2\\ f\left( 2 \right) = a + b\ln 3;\,\,a,\,b \in Q\\ x\left( {x + 1} \right).f'\left( x \right) + f\left( x \right) = {x^2} + x \end{array} \right.\).
Tính \({{a}^{2}}+{{b}^{2}}\).
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có \(x\left( x+1 \right).{f}'\left( x \right)+f\left( x \right)={{x}^{2}}+x\) (1)
Chia cả 2 vế của biểu thức (1) cho \({{\left( x+1 \right)}^{2}}\) ta được \(\frac{x}{x+1}.{f}'\left( x \right)+\frac{1}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}f\left( x \right)=\frac{x}{x+1}\)
\(\Leftrightarrow \)\({{\left[ \frac{x}{x+1}.f\left( x \right) \right]}^{\prime }}=\frac{x}{x+1}\), với \(\forall x\in \mathbb{R}\backslash \left\{ 0;\,\,-1 \right\}\).\(\Rightarrow \)\(\frac{x}{x+1}.f\left( x \right) =\int{\frac{x}{x+1}\,}\text{d}x\)
\(\Leftrightarrow \)\(\frac{x}{x+1}.f\left( x \right)=x-\ln \left| x+1 \right|+C\)\(\Leftrightarrow \)\(f\left( x \right)=\frac{x+1}{x}\left( x-\ln \left| x+1 \right|+C \right)\)
Mặt khác, \(f\left( 1 \right)=-2\ln 2\)\(\Leftrightarrow 2\left( 1-\ln 2+C \right)=-2\ln 2\)\(\Leftrightarrow C=-1\).
Do đó \(f\left( x \right)=\frac{x+1}{x}\left( x-\ln \left| x+1 \right|-1 \right)\).
Với \(x=2\) thì \(f\left( x \right)=\frac{3}{2}\left( 1-\ln 3 \right)=\frac{3}{2}-\frac{3}{2}\ln 3\). Suy ra \(a=\frac{3}{2}\) và \(b=-\frac{3}{2}\).
Vậy \({{a}^{2}}+{{b}^{2}}=\frac{9}{2}\).
