Cho a là số thực dương khác 1 và b > 0 thỏa mãn \(log _ab = \sqrt3\). Tính \( {A = {{\log }_{{a^2}b}}\frac{a}{{{b^2}}}}\) bằng
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{array}{*{20}{l}} {A = {{\log }_{{a^2}b}}\frac{a}{{{b^2}}} = {{\log }_{{a^2}b}}a - {{\log }_{{a^2}b}}{b^2}}\\ { = \frac{1}{{{{\log }_a}\left( {{a^2}b} \right)}} - 2{{\log }_{{a^2}b}}b}\\ { = \frac{1}{{{{\log }_a}\left( {{a^2}b} \right)}} - \frac{2}{{{{\log }_b}\left( {{a^2}b} \right)}}}\\ { = \frac{1}{{{{\log }_a}{a^2} + {{\log }_a}b}} - \frac{2}{{{{\log }_b}{a^2} + {{\log }_b}b}}}\\ { = \frac{1}{{2 + {{\log }_a}b}} - \frac{2}{{2{{\log }_b}a + 1}}} \end{array}\)
Mà
\(\begin{array}{l} {\log _a}b = \sqrt 3 \Rightarrow {\log _b}a = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\\ \to \begin{array}{*{20}{l}} {A = \frac{1}{{2 + \sqrt 3 }} - \frac{1}{{2.\frac{1}{{\sqrt 3 }} + 1}}}\\ { = 8 - 5\sqrt 3 } \end{array} \end{array}\)
