Cho n là số nguyên dương, tìm n sao cho \(\log _{a} 2019+2^{2} \log _{\sqrt{a}} 2019+3^{2} \log _{\sqrt[3]{a}} 2019+\ldots+n^{2} \log _{\sqrt[4]{a}} 2019=1008^{2} \times 2017^{2} \log _{a} 2019\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{aligned} &\log _{a} 2019+2^{2} \log _{\sqrt{a}} 2019+3^{2} \log _{\sqrt[4]{a}} 2019+\ldots+n^{2} \log _{\sqrt[4]{a}} 2019=1008^{2} \times 2017^{2} \log _{a} 2019\left(^{*}\right)\\ &\text { Ta có } n^{2} \log _{\sqrt[6]{a}} 2019=n^{2} \cdot n \cdot \log _{a} 2019=n^{3} \log _{a} 2019 . \text { Suy ra }\\ &\mathrm{VT}\left({ }^{*}\right)=\left(1^{3}+2^{3}+\ldots+n^{3}\right) \cdot \log _{a} 2019=\left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^{2} \cdot \log _{a} 2019\\ &\mathrm{VP}\left({ }^{*}\right)=1008^{2} \times 2017^{2} \log _{a} 2019 . \text { Khi đó }\left(^{*}\right) \text { được: }\\ &n^{2}(n+1)^{2}=2^{2} \cdot 1008^{2} \cdot 2017^{2}=2016^{2} \cdot 2017^{2} \Rightarrow n=2016 \end{aligned}\)
