Mệnh đề A: “$\forall$ x $\in$ $\mathbb{R}$: x$^2$ – 1 $\neq$ 0” có nghĩa là với mọi số thực x, $x^2 - 1 \neq 0$. Tuy nhiên, điều này không đúng vì khi $x = 1$ thì $x^2 - 1 = 1^2 - 1 = 0$. Vậy A sai.
Mệnh đề B: “$\exists$ n $\in$ $\mathbb{Z}$: n = n$^2$” có nghĩa là tồn tại một số nguyên n sao cho n = n$^2$. Điều này đúng vì khi $n = 0$ hoặc $n = 1$ thì $n = n^2$. Vậy B đúng.
C: $\sqrt{23} < 5 \Leftrightarrow 2.\sqrt{23} < 2.5$ sai. Vì khi nhân cả hai vế của bất đẳng thức với một số dương, chiều của bất đẳng thức không đổi. Tuy nhiên, $2 \sqrt{23} < 2.5$ là sai, vì $\sqrt{23} < 5$ là đúng, nhân với 2 thì phải là $2\sqrt{23} < 10$.
D: $\sqrt{23} < 5 \Leftrightarrow (-2).\sqrt{23} > -2.5$ đúng. Vì khi nhân cả hai vế của bất đẳng thức với một số âm, chiều của bất đẳng thức đổi chiều.
Định lý: Nếu A thì B. Điều kiện cần: B là điều kiện cần để có A, hay A kéo theo B. Trong trường hợp này, A là 'hai tam giác bằng nhau' và B là 'hai tam giác đồng dạng'. Vậy phát biểu đúng là: Hai tam giác bằng nhau là điều kiện cần để hai tam giác đó đồng dạng.
Định lý: $P \Rightarrow Q$. Định lý đảo: $Q \Rightarrow P$. Điều kiện cần: $Q$ là điều kiện cần để có $P$, hay $P \Rightarrow Q$. Trong bài này, $P$: "tam giác là tam giác đều", $Q$: "tam giác đó có ba đường phân giác bằng nhau". Vậy định lý đảo phát biểu dưới dạng điều kiện cần là: "Một tam giác có ba đường phân giác bằng nhau là điều kiện cần để tam giác đó là tam giác đều."
