Câu hỏi:
Tại một nơi trên mặt đất, một con lắc đơn dao động điều hòa. Trong khoảng thời gian \[\Delta t\], con lắc thực hiện 60 dao động toàn phần; thay đổi chiều dài con lắc một đoạn 44 cm thì cũng trong khoảng thời gian \[\Delta t\] ấy, nó thực hiện 50 dao động toàn phần. Chiều dài ban đầu của con lắc là bao nhiêu? (Đơn vị: cm).
Trả lời:
Đáp án đúng:
Gọi $l$ là chiều dài ban đầu của con lắc, $l'$ là chiều dài sau khi thay đổi.
Gọi $T$ là chu kì ban đầu, $T'$ là chu kì sau khi thay đổi.
Số dao động thực hiện được trong khoảng thời gian $\Delta t$ tỉ lệ nghịch với chu kì dao động.
Ta có:
$\frac{T}{T'} = \frac{50}{60} = \frac{5}{6}$
Mặt khác: $T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$ $T' = 2\pi\sqrt{\frac{l'}{g}}$ $\Rightarrow \frac{T}{T'} = \sqrt{\frac{l}{l'}} = \frac{5}{6}$
$\Rightarrow \frac{l}{l'} = \frac{25}{36}$ $\Rightarrow l' = \frac{36}{25}l$
Vì chiều dài con lắc thay đổi một đoạn 44 cm, nên: $l' - l = 44$ $\Rightarrow \frac{36}{25}l - l = 44$ $\Rightarrow \frac{11}{25}l = 44$ $\Rightarrow l = \frac{44 \cdot 25}{11} = 100$ cm
Tuy nhiên, đề bài không nói rõ là tăng hay giảm chiều dài, nếu giảm thì: $l - l' = 44$ $\Rightarrow l - \frac{36}{25}l = 44$ $\Rightarrow \frac{-11}{25}l = 44$ $\Rightarrow l = -100$ (vô lý)
Nếu $l' = l + 44$ thì $\frac{l}{l+44} = \frac{25}{36} \Leftrightarrow 36l = 25l + 25 \cdot 44 \Leftrightarrow 11l = 1100 \Leftrightarrow l = 100$
Nếu $l' = l - 44$ thì $\frac{l}{l-44} = \frac{25}{36} \Leftrightarrow 36l = 25l - 25 \cdot 44 \Leftrightarrow 11l = -1100 \Leftrightarrow l = -100$ (vô lý) Nếu sau khi thay đổi chiều dài, con lắc dao động nhanh hơn (tức là $l < l'$), thì ta có $l' = l + 44$. Khi đó $\frac{60}{50} = \sqrt{\frac{l'}{l}} = \sqrt{\frac{l+44}{l}} \Rightarrow \frac{36}{25} = \frac{l+44}{l} \Rightarrow 36l = 25l + 25(44) \Rightarrow 11l = 1100 \Rightarrow l = 100$. Nếu sau khi thay đổi chiều dài, con lắc dao động chậm hơn (tức là $l > l'$), thì ta có $l' = l - 44$. Khi đó $\frac{60}{50} = \sqrt{\frac{l'}{l}} = \sqrt{\frac{l-44}{l}} \Rightarrow \frac{36}{25} = \frac{l-44}{l} \Rightarrow 36l = 25l - 25(44) \Rightarrow 11l = -1100 \Rightarrow l = -100$ (vô lý). Do đó, trường hợp này bị loại. Vậy chiều dài ban đầu của con lắc là 100 cm.
Mặt khác: $T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$ $T' = 2\pi\sqrt{\frac{l'}{g}}$ $\Rightarrow \frac{T}{T'} = \sqrt{\frac{l}{l'}} = \frac{5}{6}$
$\Rightarrow \frac{l}{l'} = \frac{25}{36}$ $\Rightarrow l' = \frac{36}{25}l$
Vì chiều dài con lắc thay đổi một đoạn 44 cm, nên: $l' - l = 44$ $\Rightarrow \frac{36}{25}l - l = 44$ $\Rightarrow \frac{11}{25}l = 44$ $\Rightarrow l = \frac{44 \cdot 25}{11} = 100$ cm
Tuy nhiên, đề bài không nói rõ là tăng hay giảm chiều dài, nếu giảm thì: $l - l' = 44$ $\Rightarrow l - \frac{36}{25}l = 44$ $\Rightarrow \frac{-11}{25}l = 44$ $\Rightarrow l = -100$ (vô lý)
Nếu $l' = l + 44$ thì $\frac{l}{l+44} = \frac{25}{36} \Leftrightarrow 36l = 25l + 25 \cdot 44 \Leftrightarrow 11l = 1100 \Leftrightarrow l = 100$
Nếu $l' = l - 44$ thì $\frac{l}{l-44} = \frac{25}{36} \Leftrightarrow 36l = 25l - 25 \cdot 44 \Leftrightarrow 11l = -1100 \Leftrightarrow l = -100$ (vô lý) Nếu sau khi thay đổi chiều dài, con lắc dao động nhanh hơn (tức là $l < l'$), thì ta có $l' = l + 44$. Khi đó $\frac{60}{50} = \sqrt{\frac{l'}{l}} = \sqrt{\frac{l+44}{l}} \Rightarrow \frac{36}{25} = \frac{l+44}{l} \Rightarrow 36l = 25l + 25(44) \Rightarrow 11l = 1100 \Rightarrow l = 100$. Nếu sau khi thay đổi chiều dài, con lắc dao động chậm hơn (tức là $l > l'$), thì ta có $l' = l - 44$. Khi đó $\frac{60}{50} = \sqrt{\frac{l'}{l}} = \sqrt{\frac{l-44}{l}} \Rightarrow \frac{36}{25} = \frac{l-44}{l} \Rightarrow 36l = 25l - 25(44) \Rightarrow 11l = -1100 \Rightarrow l = -100$ (vô lý). Do đó, trường hợp này bị loại. Vậy chiều dài ban đầu của con lắc là 100 cm.
Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài
Câu hỏi liên quan
Lời giải:
Đáp án đúng: A
Trong dao động điều hòa, gia tốc $a$ và li độ $x$ liên hệ với nhau qua công thức: $a = -\omega^2 x$, trong đó $\omega$ là tần số góc. Dấu âm chỉ ra rằng gia tốc và li độ luôn ngược pha nhau.
Vậy đáp án đúng là ngược pha.
Vậy đáp án đúng là ngược pha.
Lời giải:
Đáp án đúng: A
Ta có:
Suy ra:
$\beta = \frac{v^2}{A^2} = \frac{\omega^2 A^2 \sin^2(\omega t + \varphi)}{A^2} = \omega^2 \sin^2(\omega t + \varphi)$
$\gamma = \frac{a^2}{\omega^2 A^2} = \frac{\omega^4 x^2}{\omega^2 A^2} = \frac{\omega^2 A^2 \cos^2(\omega t + \varphi)}{A^2} = \omega^2 \cos^2(\omega t + \varphi)$
$\alpha = \frac{1}{\omega^2}$
$\Rightarrow \beta + \gamma = \omega^2(\sin^2(\omega t + \varphi) + \cos^2(\omega t + \varphi)) = \omega^2$
$\Rightarrow \alpha(\beta + \gamma) = \frac{1}{\omega^2} \cdot \omega^2 = 1$.
- $x = A\cos(\omega t + \varphi)$
- $v = -\omega A\sin(\omega t + \varphi)$
- $a = -\omega^2 A\cos(\omega t + \varphi) = -\omega^2 x$
Suy ra:
$\beta = \frac{v^2}{A^2} = \frac{\omega^2 A^2 \sin^2(\omega t + \varphi)}{A^2} = \omega^2 \sin^2(\omega t + \varphi)$
$\gamma = \frac{a^2}{\omega^2 A^2} = \frac{\omega^4 x^2}{\omega^2 A^2} = \frac{\omega^2 A^2 \cos^2(\omega t + \varphi)}{A^2} = \omega^2 \cos^2(\omega t + \varphi)$
$\alpha = \frac{1}{\omega^2}$
$\Rightarrow \beta + \gamma = \omega^2(\sin^2(\omega t + \varphi) + \cos^2(\omega t + \varphi)) = \omega^2$
$\Rightarrow \alpha(\beta + \gamma) = \frac{1}{\omega^2} \cdot \omega^2 = 1$.
