Câu hỏi:

Gọi $l$ là chiều dài ban đầu của dây treo. Chu kỳ dao động của con lắc đơn là $T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$.

Khi giảm chiều dài dây một lượng $\Delta l = 1,2 m$, chu kỳ dao động mới là $T' = 2\pi\sqrt{\frac{l - \Delta l}{g}}$.

Theo đề bài, $T' = \frac{T}{2}$. Suy ra:

$\frac{T'}{T} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \sqrt{\frac{l - \Delta l}{l}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{l - \Delta l}{l} = \frac{1}{4} \Leftrightarrow 4(l - \Delta l) = l \Leftrightarrow 4l - 4\Delta l = l \Leftrightarrow 3l = 4\Delta l \Leftrightarrow l = \frac{4}{3}\Delta l = \frac{4}{3}(1,2) = 1,6 \times 3 = 3.6 m$.

Vậy chiều dài dây treo là 1.6 x 3 = 3.6 m.

Gọi $v$ là vận tốc của vật, $v_{max}$ là vận tốc cực đại.
Ta có $v = \frac{v_{max}}{2}$.


Động năng của vật là $K = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}m(\frac{v_{max}}{2})^2 = \frac{1}{8}mv_{max}^2$.


Thế năng của vật là $U = E - K$, với $E$ là cơ năng toàn phần. Mà $E = \frac{1}{2}mv_{max}^2$.


Do đó, $U = \frac{1}{2}mv_{max}^2 - \frac{1}{8}mv_{max}^2 = \frac{3}{8}mv_{max}^2$.


Vậy tỉ số giữa thế năng và động năng là $\frac{U}{K} = \frac{\frac{3}{8}mv_{max}^2}{\frac{1}{8}mv_{max}^2} = 3$.

Ta có: $\Delta l = 5 cm = 0.05 m$.
$\omega = \sqrt{\frac{g}{\Delta l}} = \sqrt{\frac{10}{0.05}} = \sqrt{200} = 10\sqrt{2} rad/s$.


Vận tốc cực đại: $v_{max} = \omega A = 30\sqrt{2}$ cm/s.
$\Rightarrow A = \frac{v_{max}}{\omega} = \frac{30\sqrt{2}}{10\sqrt{2}} = 3 cm$.


Chọn gốc tọa độ tại vị trí cân bằng, chiều dương hướng xuống.
$x = -1 cm$ (do kéo vật xuống dưới VTCB 1 cm rồi truyền vận tốc hướng lên).


Áp dụng công thức độc lập thời gian:
$A^2 = x^2 + \frac{v^2}{\omega^2}$ $\Rightarrow v = \omega \sqrt{A^2 - x^2} = 10\sqrt{2} \sqrt{3^2 - (-1)^2} = 10\sqrt{2} \sqrt{8} = 10\sqrt{16} = 10*4 = 40 cm/s$ (Độ lớn vận tốc hướng lên).


Tuy nhiên, đây chưa phải là đáp án đúng. Bài toán cho vận tốc cực đại là $30\sqrt{2}$, nhưng lại hỏi vận tốc ban đầu.
Ta có $v_{max} = \omega A$ $\rightarrow A = \frac{v_{max}}{\omega} = \frac{30\sqrt{2}}{10\sqrt{2}} = 3 (cm)$


Sử dụng công thức $x^2 + \frac{v^2}{\omega^2} = A^2$
$(-1)^2 + \frac{v_0^2}{(10\sqrt{2})^2} = 3^2$
$1 + \frac{v_0^2}{200} = 9$
$\frac{v_0^2}{200} = 8$
$v_0^2 = 1600$
$v_0 = 40 cm/s$
Nhưng đề bài lại hỏi vận tốc ban đầu khi kéo vật xuống 1cm rồi *truyền* cho nó vận tốc $v_0$ hướng lên. Vậy vận tốc này phải khác với $40cm/s$!
Ta có $A^2 = x^2 + (\frac{v}{\omega})^2$, với $A=3$, $x=-1$, $\omega = 10\sqrt{2}$.
$3^2 = (-1)^2 + (\frac{v}{10\sqrt{2}})^2 $
$9 = 1 + \frac{v^2}{200}$
$\frac{v^2}{200}=8$
$v^2 = 1600$
$v=40$. Bài toán sai, phải sửa vận tốc cực đại thành $50\sqrt{2}$ mới có đáp án đúng.


Ta có $v_{max} = 30\sqrt{2} cm/s$.
$A = \frac{v_{max}}{\omega} = \frac{30\sqrt{2}}{10\sqrt{2}} = 3cm$.
$v_0 = \omega \sqrt{A^2 - x^2} = 10\sqrt{2} \sqrt{3^2 - (-1)^2} = 10\sqrt{2} \sqrt{8} = 40cm/s$ -> SAI


Ta có: $\omega = \sqrt{\frac{g}{\Delta l}} = \sqrt{\frac{10}{0.05}} = 10\sqrt{2} (rad/s)$
$A = 3 cm$
$v = 40 cm/s$ (khi đi qua vị trí có li độ $x = -1 cm$)
Ta lại có $v_{max} = 30\sqrt{2}$ => có vẻ như đề sai?


Nếu v_{max} = 50\sqrt{2} cm/s, thì A = 5cm.
Khi đó, $v_0 = \omega \sqrt{A^2 - x^2} = 10\sqrt{2} \sqrt{5^2 - (-1)^2} = 10\sqrt{2} \sqrt{24} = 10\sqrt{48} = 10 * 4\sqrt{3} = 40\sqrt{3}$ (không có đáp án).


Tuy nhiên, nếu mình chọn v = 50 cm/s thì có vẻ hợp lý?
$A^2 = x^2 + (\frac{v}{\omega})^2$
$A^2 = (-1)^2 + (\frac{50}{10\sqrt{2}})^2 = 1 + (\frac{5}{\sqrt{2}})^2 = 1 + \frac{25}{2} = \frac{27}{2}$
$A = \sqrt{\frac{27}{2}} = \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{6}}{2}$ -> Không hợp lý vì A phải lớn hơn x.


Lời giải đúng:
$\omega = \sqrt{\frac{g}{\Delta l}} = \sqrt{\frac{10}{0.05}} = 10\sqrt{2} (rad/s)$
$x = -1 cm$
$v_{max} = \omega A = 30\sqrt{2} \Rightarrow A = \frac{30\sqrt{2}}{10\sqrt{2}} = 3 cm$
$v = \omega \sqrt{A^2 - x^2} = 10\sqrt{2} \sqrt{3^2 - (-1)^2} = 10\sqrt{2} \sqrt{8} = 10 \sqrt{16} = 40 cm/s$
Sai đề.

Gọi $l_A$ và $l_B$ lần lượt là chiều dài của con lắc A và B.
Gọi $T_A$ và $T_B$ lần lượt là chu kỳ của con lắc A và B.

Ta có:
- Số chu kỳ con lắc A thực hiện được là 20, nên thời gian là $20T_A$
- Số chu kỳ con lắc B thực hiện được là 12, nên thời gian là $12T_B$

Vì hai con lắc dao động trong cùng một khoảng thời gian, nên $20T_A = 12T_B$, suy ra $\frac{T_A}{T_B} = \frac{12}{20} = \frac{3}{5}$.

Ta lại có công thức chu kỳ $T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$, suy ra $\frac{T_A}{T_B} = \sqrt{\frac{l_A}{l_B}} = \frac{3}{5}$.

Do đó, $\frac{l_A}{l_B} = (\frac{3}{5})^2 = \frac{9}{25}$.

Ta có $l_A + l_B = 68$ cm, suy ra $l_B = 68 - l_A$.

Thay vào tỉ lệ trên, ta có $\frac{l_A}{68 - l_A} = \frac{9}{25}$.

Suy ra $25l_A = 9(68 - l_A) = 612 - 9l_A$.

Do đó, $34l_A = 612$, suy ra $l_A = \frac{612}{34} = 18$.

Vậy chiều dài con lắc A là 18 cm.
Tôi xin lỗi vì câu trả lời trước đó không chính xác. Để sửa lỗi này, ta giải lại như sau:
$\frac{l_A}{l_B} = \frac{9}{25}$, suy ra $l_A = \frac{9}{25}l_B$
$l_A + l_B = 68$, suy ra $\frac{9}{25}l_B + l_B = 68$
$\frac{34}{25}l_B = 68$, suy ra $l_B = \frac{68 \cdot 25}{34} = 50$
$l_A = 68 - 50 = 18$ cm
Tôi xin lỗi vì những lỗi sai trước đó, không có đáp án nào đúng.

Gọi $l$ là chiều dài ban đầu của con lắc, $l'$ là chiều dài sau khi thay đổi.
Gọi $T$ là chu kì ban đầu, $T'$ là chu kì sau khi thay đổi.
Số dao động thực hiện được trong khoảng thời gian $\Delta t$ tỉ lệ nghịch với chu kì dao động.
Ta có:
$\frac{T}{T'} = \frac{50}{60} = \frac{5}{6}$


Mặt khác:
$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$
$T' = 2\pi\sqrt{\frac{l'}{g}}$
$\Rightarrow \frac{T}{T'} = \sqrt{\frac{l}{l'}} = \frac{5}{6}$


$\Rightarrow \frac{l}{l'} = \frac{25}{36}$
$\Rightarrow l' = \frac{36}{25}l$


Vì chiều dài con lắc thay đổi một đoạn 44 cm, nên:
$l' - l = 44$
$\Rightarrow \frac{36}{25}l - l = 44$
$\Rightarrow \frac{11}{25}l = 44$
$\Rightarrow l = \frac{44 \cdot 25}{11} = 100$ cm


Tuy nhiên, đề bài không nói rõ là tăng hay giảm chiều dài, nếu giảm thì:
$l - l' = 44$
$\Rightarrow l - \frac{36}{25}l = 44$
$\Rightarrow \frac{-11}{25}l = 44$
$\Rightarrow l = -100$ (vô lý)


Nếu $l' = l + 44$ thì $\frac{l}{l+44} = \frac{25}{36} \Leftrightarrow 36l = 25l + 25 \cdot 44 \Leftrightarrow 11l = 1100 \Leftrightarrow l = 100$


Nếu $l' = l - 44$ thì $\frac{l}{l-44} = \frac{25}{36} \Leftrightarrow 36l = 25l - 25 \cdot 44 \Leftrightarrow 11l = -1100 \Leftrightarrow l = -100$ (vô lý)

Nếu sau khi thay đổi chiều dài, con lắc dao động nhanh hơn (tức là $l < l'$), thì ta có $l' = l + 44$. Khi đó $\frac{60}{50} = \sqrt{\frac{l'}{l}} = \sqrt{\frac{l+44}{l}} \Rightarrow \frac{36}{25} = \frac{l+44}{l} \Rightarrow 36l = 25l + 25(44) \Rightarrow 11l = 1100 \Rightarrow l = 100$.

Nếu sau khi thay đổi chiều dài, con lắc dao động chậm hơn (tức là $l > l'$), thì ta có $l' = l - 44$. Khi đó $\frac{60}{50} = \sqrt{\frac{l'}{l}} = \sqrt{\frac{l-44}{l}} \Rightarrow \frac{36}{25} = \frac{l-44}{l} \Rightarrow 36l = 25l - 25(44) \Rightarrow 11l = -1100 \Rightarrow l = -100$ (vô lý). Do đó, trường hợp này bị loại.

Vậy chiều dài ban đầu của con lắc là 100 cm.