Câu hỏi:

Gọi $l$ là chiều dài ban đầu của con lắc, $l'$ là chiều dài sau khi thay đổi.
Gọi $T$ là chu kì ban đầu, $T'$ là chu kì sau khi thay đổi.
Số dao động thực hiện được trong khoảng thời gian $\Delta t$ tỉ lệ nghịch với chu kì dao động.
Ta có:
$\frac{T}{T'} = \frac{50}{60} = \frac{5}{6}$


Mặt khác:
$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$
$T' = 2\pi\sqrt{\frac{l'}{g}}$
$\Rightarrow \frac{T}{T'} = \sqrt{\frac{l}{l'}} = \frac{5}{6}$


$\Rightarrow \frac{l}{l'} = \frac{25}{36}$
$\Rightarrow l' = \frac{36}{25}l$


Vì chiều dài con lắc thay đổi một đoạn 44 cm, nên:
$l' - l = 44$
$\Rightarrow \frac{36}{25}l - l = 44$
$\Rightarrow \frac{11}{25}l = 44$
$\Rightarrow l = \frac{44 \cdot 25}{11} = 100$ cm


Tuy nhiên, đề bài không nói rõ là tăng hay giảm chiều dài, nếu giảm thì:
$l - l' = 44$
$\Rightarrow l - \frac{36}{25}l = 44$
$\Rightarrow \frac{-11}{25}l = 44$
$\Rightarrow l = -100$ (vô lý)


Nếu $l' = l + 44$ thì $\frac{l}{l+44} = \frac{25}{36} \Leftrightarrow 36l = 25l + 25 \cdot 44 \Leftrightarrow 11l = 1100 \Leftrightarrow l = 100$


Nếu $l' = l - 44$ thì $\frac{l}{l-44} = \frac{25}{36} \Leftrightarrow 36l = 25l - 25 \cdot 44 \Leftrightarrow 11l = -1100 \Leftrightarrow l = -100$ (vô lý)

Nếu sau khi thay đổi chiều dài, con lắc dao động nhanh hơn (tức là $l < l'$), thì ta có $l' = l + 44$. Khi đó $\frac{60}{50} = \sqrt{\frac{l'}{l}} = \sqrt{\frac{l+44}{l}} \Rightarrow \frac{36}{25} = \frac{l+44}{l} \Rightarrow 36l = 25l + 25(44) \Rightarrow 11l = 1100 \Rightarrow l = 100$.

Nếu sau khi thay đổi chiều dài, con lắc dao động chậm hơn (tức là $l > l'$), thì ta có $l' = l - 44$. Khi đó $\frac{60}{50} = \sqrt{\frac{l'}{l}} = \sqrt{\frac{l-44}{l}} \Rightarrow \frac{36}{25} = \frac{l-44}{l} \Rightarrow 36l = 25l - 25(44) \Rightarrow 11l = -1100 \Rightarrow l = -100$ (vô lý). Do đó, trường hợp này bị loại.

Vậy chiều dài ban đầu của con lắc là 100 cm.

Trong dao động điều hòa, gia tốc $a$ và li độ $x$ liên hệ với nhau qua công thức: $a = -\omega^2 x$, trong đó $\omega$ là tần số góc. Dấu âm chỉ ra rằng gia tốc và li độ luôn ngược pha nhau.
Vậy đáp án đúng là ngược pha.

Ta có:

• $x = A\cos(\omega t + \varphi)$
• $v = -\omega A\sin(\omega t + \varphi)$
• $a = -\omega^2 A\cos(\omega t + \varphi) = -\omega^2 x$

Suy ra:
$\beta = \frac{v^2}{A^2} = \frac{\omega^2 A^2 \sin^2(\omega t + \varphi)}{A^2} = \omega^2 \sin^2(\omega t + \varphi)$

$\gamma = \frac{a^2}{\omega^2 A^2} = \frac{\omega^4 x^2}{\omega^2 A^2} = \frac{\omega^2 A^2 \cos^2(\omega t + \varphi)}{A^2} = \omega^2 \cos^2(\omega t + \varphi)$

$\alpha = \frac{1}{\omega^2}$

$\Rightarrow \beta + \gamma = \omega^2(\sin^2(\omega t + \varphi) + \cos^2(\omega t + \varphi)) = \omega^2$

$\Rightarrow \alpha(\beta + \gamma) = \frac{1}{\omega^2} \cdot \omega^2 = 1$.

Cơ năng của vật dao động điều hòa được tính bằng công thức: $W = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2 = \frac{1}{2} m (2\pi f)^2 A^2 = 2\pi^2 m f^2 A^2$.
Vậy cơ năng của vật dao động điều hòa tỉ lệ thuận với bình phương tần số dao động.

Gia tốc trọng trường trên mặt trăng nhỏ hơn so với trên mặt đất.

Công thức chu kỳ dao động của con lắc đơn là $T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$. Vì $g$ giảm, $T$ sẽ tăng.

Nếu chu kỳ tăng, đồng hồ sẽ chạy chậm hơn.