Câu hỏi:
Cho tứ diện ABCD có 
và 
. Gọi 
là điểm trên cạnh 
sao cho 
và 
là trung điểm của 
. Tính độ dài đoạn thẳng 
và làm tròn kết quả đến hàng phần trăm.
và . Gọi là điểm trên cạnh sao cho và là trung điểm của . Tính độ dài đoạn thẳng và làm tròn kết quả đến hàng phần trăm.Trả lời:
Đáp án đúng:
Gọi $\vec{a} = \overrightarrow{AB}$, $\vec{b} = \overrightarrow{AC}$, $\vec{c} = \overrightarrow{AD}$. Ta có:
Vì $BC=3BM$ nên $\overrightarrow{BM} = \frac{1}{3}\overrightarrow{BC} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}) = \frac{1}{3}(\vec{b} - \vec{a})$.
Ta có $\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BM} = \vec{a} + \frac{1}{3}(\vec{b} - \vec{a}) = \frac{2}{3}\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{b}$.
Vì $G$ là trung điểm của $CD$ nên $\overrightarrow{AG} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD}) = \frac{1}{2}(\vec{b} + \vec{c})$.
Suy ra $\overrightarrow{MG} = \overrightarrow{AG} - \overrightarrow{AM} = \frac{1}{2}(\vec{b} + \vec{c}) - (\frac{2}{3}\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{b}) = -\frac{2}{3}\vec{a} + \frac{1}{6}\vec{b} + \frac{1}{2}\vec{c}$.
Vậy $MG^2 = \overrightarrow{MG}^2 = (-\frac{2}{3}\vec{a} + \frac{1}{6}\vec{b} + \frac{1}{2}\vec{c})^2 = \frac{4}{9}a^2 + \frac{1}{36}a^2 + \frac{1}{4}a^2 - \frac{2}{9}a^2 + 0 - \frac{1}{3}a^2 = \frac{17}{36}a^2$.
Do đó $MG = \sqrt{\frac{17}{36}a^2} = \frac{a\sqrt{17}}{6}$.
- $|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = a$
- $\vec{a}.\vec{b} = a.a.cos60^o = \frac{a^2}{2}$
- $\vec{a}.\vec{c} = a.a.cos60^o = \frac{a^2}{2}$
- $\vec{b}.\vec{c} = a.a.cos90^o = 0$
Vì $BC=3BM$ nên $\overrightarrow{BM} = \frac{1}{3}\overrightarrow{BC} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}) = \frac{1}{3}(\vec{b} - \vec{a})$.
Ta có $\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BM} = \vec{a} + \frac{1}{3}(\vec{b} - \vec{a}) = \frac{2}{3}\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{b}$.
Vì $G$ là trung điểm của $CD$ nên $\overrightarrow{AG} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD}) = \frac{1}{2}(\vec{b} + \vec{c})$.
Suy ra $\overrightarrow{MG} = \overrightarrow{AG} - \overrightarrow{AM} = \frac{1}{2}(\vec{b} + \vec{c}) - (\frac{2}{3}\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{b}) = -\frac{2}{3}\vec{a} + \frac{1}{6}\vec{b} + \frac{1}{2}\vec{c}$.
Vậy $MG^2 = \overrightarrow{MG}^2 = (-\frac{2}{3}\vec{a} + \frac{1}{6}\vec{b} + \frac{1}{2}\vec{c})^2 = \frac{4}{9}a^2 + \frac{1}{36}a^2 + \frac{1}{4}a^2 - \frac{2}{9}a^2 + 0 - \frac{1}{3}a^2 = \frac{17}{36}a^2$.
Do đó $MG = \sqrt{\frac{17}{36}a^2} = \frac{a\sqrt{17}}{6}$.
Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài
Câu hỏi liên quan
Lời giải:
Đáp án đúng:
Gọi $x_i$ là giá trị đại diện của nhóm thứ $i$, $n_i$ là tần số của nhóm thứ $i$, và $n$ là số lượng phần tử của mẫu.
Ta có công thức tính phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm:
$s^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{k} n_i(x_i - \overline{x})^2$
Trong đó, $\overline{x}$ là trung bình của mẫu, được tính bởi:
$\overline{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{k} n_i x_i$
Với bảng số liệu đã cho, ta có:
Tổng số học sinh: $n = 5 + 10 + 12 + 9 + 4 = 40$ (Đề bài cho là 43, nhưng tổng tần số trong bảng là 40, ta sử dụng 40 để tính toán).
Trung bình của mẫu:
$\overline{x} = \frac{5(152.5) + 10(157.5) + 12(162.5) + 9(167.5) + 4(172.5)}{40} = \frac{762.5 + 1575 + 1950 + 1507.5 + 690}{40} = \frac{6485}{40} = 162.125$
Phương sai của mẫu:
$s^2 = \frac{1}{40} [5(152.5 - 162.125)^2 + 10(157.5 - 162.125)^2 + 12(162.5 - 162.125)^2 + 9(167.5 - 162.125)^2 + 4(172.5 - 162.125)^2]$
$s^2 = \frac{1}{40} [5(-9.625)^2 + 10(-4.625)^2 + 12(0.375)^2 + 9(5.375)^2 + 4(10.375)^2]$
$s^2 = \frac{1}{40} [5(92.640625) + 10(21.390625) + 12(0.140625) + 9(28.90625) + 4(107.640625)]$
$s^2 = \frac{1}{40} [463.203125 + 213.90625 + 1.6875 + 260.15625 + 430.5625]$
$s^2 = \frac{1369.515625}{40} = 34.237890625$
Làm tròn đến hàng phần trăm, ta được $s^2 \approx 34.24$
Tuy nhiên, do đề bài cho tổng số học sinh là 43, nên ta cần chuẩn hóa lại kết quả.
$s^2 \approx 34.24 * (40/43) = 31.85581395 \approx 31.86$
Đáp án gần nhất là 34.24 nhưng không có trong đáp án. Xem xét lại đề bài ta thấy tổng tần số là 40, đề lại cho 43 học sinh. Nếu ta sử dụng công thức phương sai mẫu (chia cho n-1) thì
$s^2 = \frac{1}{39} [5(152.5 - 162.125)^2 + 10(157.5 - 162.125)^2 + 12(162.5 - 162.125)^2 + 9(167.5 - 162.125)^2 + 4(172.5 - 162.125)^2]$
$s^2 = \frac{1369.515625}{39} = 35.115785 \approx 35.12$
đáp án này cũng không khớp
Có lẽ có một lỗi trong đề bài hoặc bảng số liệu. Tuy nhiên, theo các đáp án đã cho thì 162.5 gần nhất với giá trị trung bình.
Ta có công thức tính phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm:
$s^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{k} n_i(x_i - \overline{x})^2$
Trong đó, $\overline{x}$ là trung bình của mẫu, được tính bởi:
$\overline{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{k} n_i x_i$
Với bảng số liệu đã cho, ta có:
- $x_1 = 152.5, n_1 = 5$
- $x_2 = 157.5, n_2 = 10$
- $x_3 = 162.5, n_3 = 12$
- $x_4 = 167.5, n_4 = 9$
- $x_5 = 172.5, n_5 = 4$
Tổng số học sinh: $n = 5 + 10 + 12 + 9 + 4 = 40$ (Đề bài cho là 43, nhưng tổng tần số trong bảng là 40, ta sử dụng 40 để tính toán).
Trung bình của mẫu:
$\overline{x} = \frac{5(152.5) + 10(157.5) + 12(162.5) + 9(167.5) + 4(172.5)}{40} = \frac{762.5 + 1575 + 1950 + 1507.5 + 690}{40} = \frac{6485}{40} = 162.125$
Phương sai của mẫu:
$s^2 = \frac{1}{40} [5(152.5 - 162.125)^2 + 10(157.5 - 162.125)^2 + 12(162.5 - 162.125)^2 + 9(167.5 - 162.125)^2 + 4(172.5 - 162.125)^2]$
$s^2 = \frac{1}{40} [5(-9.625)^2 + 10(-4.625)^2 + 12(0.375)^2 + 9(5.375)^2 + 4(10.375)^2]$
$s^2 = \frac{1}{40} [5(92.640625) + 10(21.390625) + 12(0.140625) + 9(28.90625) + 4(107.640625)]$
$s^2 = \frac{1}{40} [463.203125 + 213.90625 + 1.6875 + 260.15625 + 430.5625]$
$s^2 = \frac{1369.515625}{40} = 34.237890625$
Làm tròn đến hàng phần trăm, ta được $s^2 \approx 34.24$
Tuy nhiên, do đề bài cho tổng số học sinh là 43, nên ta cần chuẩn hóa lại kết quả.
$s^2 \approx 34.24 * (40/43) = 31.85581395 \approx 31.86$
Đáp án gần nhất là 34.24 nhưng không có trong đáp án. Xem xét lại đề bài ta thấy tổng tần số là 40, đề lại cho 43 học sinh. Nếu ta sử dụng công thức phương sai mẫu (chia cho n-1) thì
$s^2 = \frac{1}{39} [5(152.5 - 162.125)^2 + 10(157.5 - 162.125)^2 + 12(162.5 - 162.125)^2 + 9(167.5 - 162.125)^2 + 4(172.5 - 162.125)^2]$
$s^2 = \frac{1369.515625}{39} = 35.115785 \approx 35.12$
đáp án này cũng không khớp
Có lẽ có một lỗi trong đề bài hoặc bảng số liệu. Tuy nhiên, theo các đáp án đã cho thì 162.5 gần nhất với giá trị trung bình.
Lời giải:
Đáp án đúng: B
Từ đồ thị hàm số, ta thấy hàm số nghịch biến trên khoảng $(0; 1)$.
Chọn B.
Chọn B.
