Câu hỏi:

Ta có:

• Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là $x = 1$.
• Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là $y = 2$.
• Do đó, $I(1; 2)$.

Gọi $M(x_0; y_0)$ là một điểm thuộc $(C)$. Khi đó, $y_0 = \frac{2x_0 - 1}{x_0 - 1}$. Ta có: $y' = \frac{-1}{(x - 1)^2}$. Phương trình tiếp tuyến tại $M$ là: $y = y'(x_0)(x - x_0) + y_0 = \frac{-1}{(x_0 - 1)^2}(x - x_0) + \frac{2x_0 - 1}{x_0 - 1}$.

• Giao điểm $A$ của tiếp tuyến với tiệm cận đứng $x = 1$ là: $y_A = \frac{-1}{(x_0 - 1)^2}(1 - x_0) + \frac{2x_0 - 1}{x_0 - 1} = \frac{1}{x_0 - 1} + \frac{2x_0 - 1}{x_0 - 1} = \frac{2x_0}{x_0 - 1}$. Vậy $A(1; \frac{2x_0}{x_0 - 1})$.
• Giao điểm $B$ của tiếp tuyến với tiệm cận ngang $y = 2$ là: $2 = \frac{-1}{(x_0 - 1)^2}(x - x_0) + \frac{2x_0 - 1}{x_0 - 1} \Leftrightarrow \frac{1}{(x_0 - 1)^2}(x - x_0) = \frac{2x_0 - 1}{x_0 - 1} - 2 = \frac{-1}{x_0 - 1}$ $\Leftrightarrow x - x_0 = -(x_0 - 1) \Leftrightarrow x = x_0 - (x_0 - 1) = 1$. $\Rightarrow x = x_0 + (x_0 - 1) = 2x_0 - 1$. Vậy $B(2x_0 - 1; 2)$.

$IA = \sqrt{(1 - 1)^2 + (\frac{2x_0}{x_0 - 1} - 2)^2} = \sqrt{(\frac{2}{x_0 - 1})^2} = |\frac{2}{x_0 - 1}|$. $IB = \sqrt{(2x_0 - 1 - 1)^2 + (2 - 2)^2} = |2x_0 - 2| = 2|x_0 - 1|$. $AB = \sqrt{(2x_0 - 1 - 1)^2 + (2 - \frac{2x_0}{x_0 - 1})^2} = \sqrt{4(x_0 - 1)^2 + \frac{4}{(x_0 - 1)^2}} = 2\sqrt{(x_0 - 1)^2 + \frac{1}{(x_0 - 1)^2}}$. Chu vi tam giác $IAB$ là: $P = IA + IB + AB = |\frac{2}{x_0 - 1}| + 2|x_0 - 1| + 2\sqrt{(x_0 - 1)^2 + \frac{1}{(x_0 - 1)^2}}$. Áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số dương: $(x_0 - 1)^2 + \frac{1}{(x_0 - 1)^2} \ge 2\sqrt{(x_0 - 1)^2 . \frac{1}{(x_0 - 1)^2}} = 2$. $P = 2(|x_0 - 1| + |\frac{1}{x_0 - 1}|) + 2\sqrt{(x_0 - 1)^2 + \frac{1}{(x_0 - 1)^2}} \ge 4\sqrt{|x_0 - 1| . |\frac{1}{x_0 - 1}|} + 2\sqrt{2} = 4 + 2\sqrt{2}$. Vậy chu vi tam giác $IAB$ nhỏ nhất bằng $4 + 2\sqrt{2}$. $\Rightarrow a = 4, b = 8$. Vậy $a - b + 4 = 4 - 8 + 4 = 0$.