Cho hàm số f(x) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và\(f(x)+f(-x)=\cos ^{4} x\) với mọi \(x\in\mathbb{R}\). Giá trị của tích phân \(I=\int\limits_{\frac{-\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} f(x) d x\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐặt \(x=-t\)
Với \(x=\frac{-\pi}{2}\Rightarrow t=\frac{\pi}{2}\)
\(x=\frac{\pi}{2}\Rightarrow t=\frac{-\pi}{2}\)
Khi đó
\(\int\limits_{\frac{-\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} f(x) d x=\int\limits_{\frac{\pi}{2}}^{-\frac{\pi}{2}} f(-t)(-d t)=\int\limits_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} f(-t) d t=\int\limits_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} f(-x) d x\)
\(\Rightarrow 2 \int\limits_{\frac{-\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} f(x) d x=\int\limits_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}[f(x)+f(-x)] d x=\int\limits_{\frac{-\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos ^{4} x d x \Rightarrow I=\frac{3 \pi}{16}\)
Đề thi giữa HK2 môn Toán 12 năm 2021
Trường THPT Trưng Vương
