Cho hàm số \(f\left( x \right)\) đồng biến và có đạo hàm cấp 2 trên đoạn \(\left[ {0;2} \right]\) và thỏa mãn \(2{\left[ {f\left( x \right)} \right]^2} - f\left( x \right)f''\left( x \right) + {\left[ {f'\left( x \right)} \right]^2} = 0\) với \(\forall x \in \left[ {0;2} \right]\). Biết \(f\left( 0 \right) = 1,f\left( 2 \right) = {e^6}\), tính tích phân \(I = \int\limits_{ - 2}^0 {\left( {2{\rm{x}} + 1} \right)f\left( x \right)d{\rm{x}}} \) bằng?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiGiả sử \(f\left( x \right) = {e^{a{x^2} + bx + c}}\)
Ta có
\(\begin{array}{l} = {\left( {{e^{a{x^2} + bx + c}}} \right)^2}\left[ {2 - 2a} \right] = 0\\ \Rightarrow a = 1\end{array}\)
Do đó hàm số có dạng \(f\left( x \right) = {e^{{x^2} + bx + c}}\)
Mà \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( 0 \right) = {e^c} = 1 \Rightarrow c = 0\\f\left( 2 \right) = {e^{4 + 2b + c}} = {e^6} \Rightarrow b = 1\end{array} \right.\)
Nên \(f\left( x \right) = {e^{{x^2} + x}}\)
Khi đó \[I = \int\limits_{ - 2}^0 {\left( {2x + 1} \right)f\left( x \right)dx} = \int\limits_{ - 2}^0 {\left( {2x + 1} \right){e^{{x^2} + x}}dx} = 1 - {e^2}\]
Chọn B.
Đề thi giữa HK2 môn Toán 12 năm 2023-2024
Trường THPT Võ Văn Kiệt
