Để xác định vị trí của một địa điểm trên trái đất, một người đã chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ với đơn vị trên trục bằng với bán kính của trái đất. Biết vị trí một điểm nằm trên bề mặt của trái đất là \(M\left( \frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2};0 \right)\) Nếu xuyên từ điểm M vào lòng đất, theo đường thẳng có phương trình \(d:\frac{x-\frac{1}{2}}{1}=\frac{y-\frac{\sqrt{3}}{2}}{-1}=\frac{z}{1}\), thì người này xác định được vị trí của điểm N nằm trên mặt đất. Khí đó điểm N cách điểm \(A\left( \frac{1}{6};\frac{1}{3};-\frac{1}{3} \right)\) bao nhiêu km? Sử dụng số đo bán kính trái đất là 64.000 km. (Làm tròn kết quả tới số thập phân thứ nhất)

Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( P \right):2x-3y+6z-5=0\) và điểm \(A\left( 2;-3;1 \right)\).

Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(A\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right)\) có phương trình tham số là:

Hệ thống Kiểm soát không lưu, còn gọi là kiểm soát không lưu (tiếng anh: air traffic control, viết tắt là ATC), hay Điều khiển không lưu là hệ thống chuyên trách đảm nhận việc gửi các hướng dẫn đến máy bay nhằm giúp các máy bay tránh va chạm, đồng thời đảm bảo tính hoạt động hiệu quả của nền tảng không lưu. Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), xét một đài kiểm soát không lưu sân bay có tọa độ \(O\left( 0\,;\,0\,;\,0 \right)\), mỗi đơn vị trên trục ứng với 1 km. Máy bay bay trong phạm vi cách đài kiểm soát 417 km sẽ hiển thị trên màn hình ra đa. Một máy bay đang ở vị trí \(A\left( -688\,;\,-185\,;\,8 \right)\) chuyển động theo đường thẳng \(d\) có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow{u}=\left( 91\,;\,75\,;\,0 \right)\) và hướng về đài kiểm soát không lưu (Hình hình mô tả dưới).

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\) cho đường thẳng \(d: \begin{cases} x=1-t \\ y=2+2t \\ z=3+t \end{cases}\) và mặt phẳng \((P):x-y+3=0\). Tính số đo góc giữa đường thẳng \(d\) và mặt phẳng \((P)\).

Trong không gian \({Oxyz}\), cho đường thẳng \({d\colon \frac{x-4}{2}=\frac{y-7}{1}=\frac{z-3}{4}}\) và mặt phẳng \({(P)\colon 3x-2y+z-6=0}\). Giá trị của \({\sin (d,(P))}\) bằng:

Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(A\left( 1;0;-2 \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):2x-y+z+3=0\). Phương trình của đường thẳng đi qua \(A\) và vuông góc với \(\left( P \right)\) là:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng \(d_1 : \begin{cases} x = 3t \\ y = -1+2t \\ z = 0 \end{cases} (t \in \mathbb{{R}})\) và \(d_2: \frac{x-1}{1} = \frac{y+3}{2} = \frac{z+3}{-3}.\) Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Hệ thống phòng không "Vòm sắt" là một trong những hệ thống đánh chặn tên lửa từ xa rất nổi tiếng của Israel. Để "Vòm sắt" hoạt động được chính xác người ta trang bị một Radar có khả năng phát hiện tên lửa với bán kính 417 km. Trong hệ trục tọa độ \(Oxyz\) một hệ thống "Vòm sắt" đang ở vị trí \(O\left( 0;0;0 \right)\) và một quả tên lửa đang ở vị trí \(A\left( 688;185;-8 \right)\) được phóng lên và bay theo một quỹ đạo là đường thẳng có vectơ chỉ phương là \(\vec{u}=\left( -91;-75;0 \right)\).

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng, mệnh đề nào sai?

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho đường thẳng \(d:\left\{ \begin{align} & x=1 \\  & y=2+3t \\  & z=5-t \\ \end{align} \right.;\text{ }\left( t\in \mathbb{R} \right)\). Véctơ chỉ phương của \(d\) là:

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), một cabin cáp treo xuất phát từ điểm \(A\left( 1,2,3 \right)\) và chuyển động đều theo đường cáp có véc tơ chỉ phương \(\vec{u}=\left( 3,-4,2 \right)\) với tốc độ \(5\text{ }\!\!~\!\!\text{ m}/\text{s}\).

Trong không gian \(Oxyz\), cho hai điểm \(M\left( 1\,;\,2;1 \right)\) và \(N\left( 3;1;-2 \right)\). Đường thẳng \(MN\) có phương trình là:

Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( \alpha  \right):2x-y-z+5=0\), đường thẳng \(\Delta :\left\{ \begin{align}  & x=1-2t \\  & y=t \\  & z=t \\ \end{align} \right.\). Góc giữa đường thẳng \(\Delta \) với mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\)bằng:

Trong không gian \(Oxyz,\) đường thẳng đi qua điểm \(A\left( 3;2;3 \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\vec{u}\left( 1;-2;1 \right)\) có phương trình tham số là:

Khi gắn hệ tọa độ \(Oxyz\) (đơn vị trên mỗi trục tính theo kilômét) vào một sân bay, mặt phẳng \((Oxy)\) trùng với mặt sân bay. Một máy bay bay theo đường thẳng từ vị trí \(A(5;~0;~5)\) ngang qua vị trí \(B(10;~10;~3)\) và tiếp đất tại vị trí \(M(a;~b;~0).\) Giá trị của \(a+b\) bằng bao nhiêu (viết kết quả dưới dạng số thập phân)?

Trong không gian \(Oxyz\), phương trình của đường thẳng đi qua \(M\left( 1;2;1 \right)\) và \(N\left( 3;1;-2 \right)\) là:

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(d: \frac{x-2}{-1} = \frac{y-1}{2} = \frac{z+3}{1}\). Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của d?

Trong không gian \({Oxyz}\), cho đường thẳng \({d\colon \frac{x-4}{2}=\frac{y-7}{1}=\frac{z-3}{4}}\) và mặt phẳng \({(P)\colon 3x-2y+z-6=0}\). Giá trị của \({\sin (d,(P))}\) bằng:

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( 1;1;2 \right)\), \(B\left( 2;-1;3 \right)\). Viết phương trình đường thẳng \(AB\).

Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Trong không gian \(Oxyz\), cho \({{d}_{1}}:\frac{x}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z-2}{-3}\) và \({{d}_{2}}:\left\{ \begin{align}  & x=2t \\  & y=-3-t \\  & z=0 \\ \end{align} \right.\). Mệnh đề nào sau đây đúng?

Trong không gian Oxyz, mắt một người quan sát đặt ở điểm \(M\left( 1;2;-2 \right)\) và vật quan sát đặt ở điểm \(N\left( -2;0;2 \right)\). Một tấm bia chắn đường truyền của ánh sáng có dạng hình tròn với tâm \(O\left( 0;0;0 \right)\), bán kính bằng 4 và đặt trong mặt phẳng \(\left( Oxy \right)\). Tọa độ điểm chắn tầm nhìn của người đó là \(D\left( a;b;c \right)\). Tính \(a.b+c\).

Trong không gian \(Oxyz\), mặt phẳng \((Oyz)\)là mặt phẳng nằm ngang. Một đường ống nước thẳng đi qua hai điểm \(A(-1;1;2),B(2;1;3)\). Hỏi đường ống nước nói trên nghiêng bao nhiêu độ so với mặt phẳng nằm ngang? (đơn vị độ, làm tròn đến hàng đơn vị).