Ở một thị xã, tỉ lệ mắc căn bệnh M là 22%. Chính quyền thị xã đó muốn biết danh sách những người bị mắc bệnh nên đã tổ chức xét nghiệm cho toàn bộ người dân. Tuy nhiên bộ “test” được sử dụng trong phương pháp xét nghiệm này có những sai sót nhất định:

- Nếu một người không bị bệnh thì xác suất bộ “test” cho ra kết quả dương tính là 10%.

- Nếu bộ “test” cho ra kết quả dương tính thì xác suất bị bệnh là 70%.

a) Xác suất để một người không mắc căn bệnh M là 78%.

b) Nếu một người không bị bệnh thì xác suất bộ “test” cho ra kết quả chính xác 90%.

c) Xác suất để bộ “test” cho ra kết quả dương tính khi xét nghiệm người bị bệnh là: 78,54%.

d) Xác suất chẩn đoán đúng của bộ “test” là: 96,2%.

Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án

Lời giải

a) Đúng.

Xác suất để người đó không mắc căn bệnh M là:

\(100\%-22\%=78\%\).

b) Đúng.

Gọi A là biến cố "Bị mắc bệnh M",

B là biến cố "Bộ test cho kết quả dương tính".

Do xác suất bị mắc bệnh M là \(22%\) nên \(P\left( A \right)=0,22\).

Từ dữ kiện "Nếu một người không bị bệnh thì xác suất bộ test cho ra kết quả dương tính là \(10%\)".

Suy ra \(P\left( B\mid \bar{A} \right)=0,1\).

"Xác suất bộ test cho kết quả âm tính khi người đó không bị bệnh", tức là \(P\left( \bar{B}\mid \bar{A} \right)\).

Ta có \(P\left( \bar{B}\mid \bar{A} \right)=1-P\left( B\mid \bar{A} \right)=1-0,1=0,9=90%\).

c) Sai.

Trước hết từ dữ kiện "Nếu bộ test cho ra kết quả dương tính thì xác suất bị bệnh là \(70%\)" suy ra \(P\left( A\mid B \right)=0,7\). Từ ba dữ kiện trên, ta có hệ phương trình:

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & P\left( A \right)=0,22 \\ & P\left( B|\bar{A} \right)=\frac{P\left( \bar{A}B \right)}{P\left( {\bar{A}} \right)}=0,1 \\ & P\left( A|B \right)=\frac{P\left( AB \right)}{P\left( B \right)}=0,7 \\ \end{align} \right.\)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & P\left( A \right)=0,22 \\ & P\left( \bar{A}B \right)=0,1.P\left( {\bar{A}} \right)=0,1.0,78=0,078 \\ & \frac{P\left( B \right)-P\left( \bar{A}B \right)}{P\left( B \right)}=0,7 \\ \end{align} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & P\left( \bar{A}B \right)=0,078 \\ & 1-\frac{0,078}{P\left( B \right)}=0,7 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} P\left( A \right)=0,22 \\ P\left( \bar{A}B \right)=0,078 \\ P\left( B \right)=0,26 \\\end{array} \right.\).

Xác suất cần tính chính là:

\(P\left( B\mid A \right)=\frac{P\left( AB \right)}{P\left( A \right)}=\frac{P\left( B \right)-P\left( \bar{A}B \right)}{P\left( A \right)}=\frac{0,26-0,078}{0,22}=0,8273=82,73%.\)

d) Sai.

“Xác suất một người bị bệnh và xét nghiệm ra kết quả dương tính hoặc một người không bị bệnh và xét nghiệm ra kết quả âm tính”.

Khi đó, xác suất cần tính là:

\(\begin{align}\mathrm{P}(\mathrm{AB}+\overline{\mathrm{AB}}) & =\mathrm{P}(\mathrm{AB})+\mathrm{P}(\overline{\mathrm{AB}})=\mathrm{P}(\mathrm{~B})-\mathrm{P}(\overline{\mathrm{AB}})+\mathrm{P}(\overline{\mathrm{~A}})-\mathrm{P}(\overline{\mathrm{AB}}) \\& =0,26-0,078+0,78-0,078=0,884=88,4 \%\end{align}\)