Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\) (đơn vị trên các trục là mét), một chất điểm chuyển động đều luôn cách điểm \(I(3;3)\) một khoảng bằng \(2\). Một chất điểm khác chuyển động thẳng đều trên đường thẳng, tại hai thời điểm, chất điểm đó ở vị trí \(A(-3;2)\) và \(B(2;7)\). Tại mọi thời điểm, khoảng cách nhỏ nhất giữa hai chất điểm là bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?

Trong mặt phẳng tọa độ, cho đường thẳng \(\Delta :x-2y-3=0\).

Đường thẳng nào sau đây có vị trí trùng với đường thẳng \(\Delta \)?

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho đường thẳng \(d\) có phương trình tổng quát \(2x-y+5=0\). Một vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(d\) là:

Trong mặt phẳng tọa độ, một thiết bị âm thanh được phát từ vị trí \(A\left( 4;4 \right)\). Người ta dự định đặt một máy thu tín hiệu trên đường thẳng có phương trình \(d:x-y-3=0\). Hỏi máy thu đặt ở vị trí nào sẽ nhận được tín hiệu sớm nhất. Gọi \(M\) là vị trí đặt máy thu tín hiệu.

Trong mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\), cho đường thẳng \(\left( d \right):2x + 3y - 2 = 0\). Đường thẳng \(d'//d\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {a; - 3} \right)\). Tìm \(a\).

Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng

\({\Delta _1}:x - 2y + 1 = 0\) và \({\Delta _2}: - x + 2y + 1 = 0\).

a) Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho vectơ \(\overrightarrow{u}\) và hai đường thẳng \({{d}_{1}},{{d}_{2}}\) như hình vẽ dưới đây. Biết hai điểm \(A,B\) lần lượt thuộc \({{d}_{1}},{{d}_{2}}\) sao cho \(\overrightarrow{AB}\) cùng phương với \(\overrightarrow{u}\) và tổng \(T=OA+OB+AB\) nhỏ nhất.

Tìm tọa độ vectơ \(\overrightarrow{OM}\) với \(M\) là trung điểm của \(AB\).

b) Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho tam giác \(ABC\) có \(C\left( 5;1 \right)\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\), điểm \(B\) thuộc đường thẳng \(x+y+6=0\), \(N\left( 0;1 \right)\) là trung điểm của \(AM\) Điểm \(D\left( -1;-7 \right)\) không thuộc đường thẳng \(AM\) và \(A,D\) nằm khác phía so với đường thẳng \(BC\) sao cho khoảng cách từ \(A\) và \(D\) đến đường thẳng \(BC\) bằng nhau. Tính giá trị biểu thức \(T=a.b\), trong đó \(A\left( a;b \right)\).

Đường thẳng đi qua \(A\left( 1;\,2 \right)\), nhận \(\overrightarrow{n}\left( 2;\,-4 \right)\) làm véc tơ pháp tuyến có phương trình là:

Côsin của góc tạo bởi 2 đường thẳng: \(\Delta :2x+3y-1=0\), \(d:\left\{ \begin{array}{*{35}{r}}  x=-1+t  \\    y=5+3t  \\ \end{array} \right.\)

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác \(ABC\) có \(A\left( -1;2\right)\), \(B\left( 3;4 \right)\), \(C\left( 1;-2 \right)\). Tìm tọa độ chân đường cao hạ từ đỉnh C của tam giác \(ABC\).

Cho đường thẳng \({{d}_{1}}:x-y-1=0\), \({{d}_{2}}:x+2y+1=0\) và điểm \(C\left( 0;3 \right)\).

Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng \({d_1}:x - 2y + 1 = 0\) và \({d_2}: - 3x + 6y - 10 = 0\).

Phương trình tổng quát của đường thẳng \(d\) đi qua \(A\left( -1;2 \right)\) và vuông góc với đường thẳng \(\Delta :2x-y+4=0\) là:

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), phương trình đường thẳng đi qua điểm \(M\left( 2;-3 \right)\) và có một vectơ pháp tuyến \(\vec{n}=\left( 2;1 \right)\) là phương trình nào dưới đây?

Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng \({d_1}:x - 2y + 1 = 0\) và \({d_2}: - 3x + 6y - 10 = 0\).

Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho các điểm \(A\left( 1\,;\,2 \right)\), \(B\left( 3\,;\,4 \right)\) và đường thẳng \(d:3x-4y-10=0\).

Cho đường thẳng \(d:3x+4y-1=0\). Đường thẳng \(\Delta :3x+by+c=0\), \(\left( c>-5 \right)\) song song với \(d\) và cách \(A\left( 1;1 \right)\) một khoảng bằng \(1\). Tính \(b+c\).

Phương trình tham số của đường thẳng qua \(M\left( 1;-2 \right)\), \(N\left( 4;3 \right)\) là:

Trong mặt phẳng \(Oxy,\) cho tam giác \(ABC\) có toạ độ các đỉnh là \(A\left( 0;2 \right)\), \(B\left( 1;-1 \right)\) và \(C\left( 5;3 \right)\). Độ dài đường cao xuất phát từ đỉnh \(A\) của tam giác \(ABC\) là:

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho hai điểm \(A\left( -1\,;2 \right)\) và \(B\left( 3\,;-4 \right)\). Phương trình tổng quát của đường thẳng \(AB\) là:

Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng \({\Delta _1}:x - 2y + 1 = 0\) và \({\Delta _2}: - x + 2y + 1 = 0\).