Cho đường thẳng \({{d}_{1}}:x-y-1=0\), \({{d}_{2}}:x+2y+1=0\) và điểm \(C\left( 0;3 \right)\).

a) Khoảng cách từ điểm \(C\left( 0;3 \right)\) đến đường thẳng \({{d}_{1}}\) bằng \(\sqrt{2}\).

b) Cosin góc tạo bởi hai đường thẳng \({{d}_{1}}\) và \({{d}_{2}}\) bằng \(\frac{\sqrt{10}}{10}\).

c) Đường thẳng đi qua \(C\) và vuông góc với đường thẳng \({{d}_{2}}\) có phương trình: \(\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} x=t \\ y=3+2t \\\end{array} \right.\).

d) Đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(C\), cắt \({{d}_{1}}\) và \({{d}_{2}}\), lần lượt tại \(A\) và \(B\) sao cho \(C\) là trung điểm của đoạn \(AB\), có phương trình là \(x-5y+5=0\).

Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án

Lời giải

Khoảng cách từ \(C(0;3)\) đến đường thẳng \({{d}_{1}}\) là:

\(d\left( C,{{d}_{1}} \right)=\frac{\left| 0-3-1 \right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{\left( -1 \right)}^{2}}}}=\frac{\left| -4 \right|}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}.\)

Cosin góc tạo bởi hai đường thẳng \({{d}_{1}}\) và \({{d}_{2}}\) là:

\(\text{cos}\left( \overrightarrow{{{n}_{1}}};\overrightarrow{{{n}_{2}}} \right)=\frac{\left| 1\cdot 1+\left( -1 \right)\cdot 2 \right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{\left( -1 \right)}^{2}}}\cdot \sqrt{{{1}^{2}}+{{2}^{2}}}}=\frac{\left| 1-2 \right|}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{5}}=\frac{1}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{10}}{10}.\)

Đường thẳng đi qua C và vuông góc với \({{d}_{2}}\) có phương trình là: \(\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} x=t, \\ y=3+2t. \\\end{array} \right.\)

Gọi tọa độ các điểm A, B và C lần lượt là \(A\left( {{x}_{A}};{{y}_{A}} \right)\), \(B\left( {{x}_{B}};{{y}_{B}} \right)\), \(C\left( {{x}_{C}};{{y}_{C}} \right).\)

Vì A thuộc \({{d}_{1}}\) nên \({{x}_{A}}-{{y}_{A}}-1=0\), suy ra: \({{x}_{A}}={{y}_{A}}+1.\)

Vì B thuộc \({{d}_{2}}\) nên \({{x}_{B}}+2{{y}_{B}}+1=0\), suy ra: \({{x}_{B}}=-2{{y}_{B}}-1.\)

Do C là trung điểm của đoạn AB nên

\(\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} {{x}_{A}}+{{x}_{B}}=2{{x}_{C}} \\ {{y}_{A}}+{{y}_{B}}=2{{y}_{C}} \\\end{array}\Rightarrow \right.\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} ({{y}_{A}}+1)+(-2{{y}_{B}}-1)=0 \\ {{y}_{A}}+{{y}_{B}}=6 \\\end{array}\Rightarrow \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} {{y}_{A}}=4 \\ {{y}_{B}}=2 \\\end{array} \right. \right.\)

\(\Rightarrow A(5;4)\)

Đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(A\) và điểm \(C\).

Ta có: \(\overrightarrow{AC}=\left( -5;-1 \right)\Rightarrow \overrightarrow{{{n}_{AC}}}=\left( 1;-5 \right)\).

Đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(C\left( 0;3 \right)\) và có một vectơ pháp tuyến là mc nên có phương trình là \(\overrightarrow{{{n}_{AC}}}\) nên có phương trình là:

\(1\left( x-0 \right)-5\left( y-3 \right)=0\) hay \(x-5y+15=0\).

Vậy:

a) Sai. Khoảng cách từ \(C(0;3)\) đến đường thẳng \({{d}_{1}}\) bằng \(2\sqrt{2}\).

b) Đúng. Cosin góc tạo bởi hai đường thẳng \({{d}_{1}}\) và \({{d}_{2}}\) bằng \(\frac{\sqrt{10}}{10}\).

c) Đúng. Đường thẳng đi qua C và vuông góc với đường thẳng \({{d}_{2}}\) có phương trình: \(\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} x=t \\ y=3+2t. \\\end{array} \right.\)

d) Sai. Đường thẳng \(\Delta \) có phương trình là \(x-5y+15=0\).

Cho đường thẳng \({{d}_{1}}:x-y-1=0\), \({{d}_{2}}:x+2y+1=0\) và điểm \(C\left( 0;3 \right)\).

Bộ Đề Kiểm Tra Tham Khảo Giữa Học Kì II - Toán 10 - Chân Trời Sáng Tạo – Bộ Đề 01 - Đề Số 02

Câu hỏi liên quan

Cho đường thẳng \({{d}_{1}}:x-y-1=0\), \({{d}_{2}}:x+2y+1=0\) và điểm \(C\left( 0;3 \right)\).

Bộ Đề Kiểm Tra Tham Khảo Giữa Học Kì II - Toán 10 - Chân Trời Sáng Tạo – Bộ Đề 01 - Đề Số 02

Câu hỏi liên quan

BỘ TÀI LIỆU CAO CẤP

TÀI LIỆU THAM KHẢO