Trong mặt phẳng với hệ tọa độ \(Oxy\) , cho đường thẳng \(\Delta :3x+y+4=0\) và điểm \(M(1;-1)\).

Phương trình tham số của đường thẳng qua \(M\left( 2;3 \right)\) và song song với đường thẳng \(\left( d \right):\frac{7-x}{1}=\frac{y+5}{5}\) là:

Cho \(\Delta :\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}   x=1+t  \\   y=1+2t  \\\end{array}(t\in \mathbb{R}) \right.\). Điểm \(N\left( a,b \right)\in \Delta \) sao cho khoảng cách từ gốc tọa độ \(O\) đến \(N\) nhỏ nhất. Tính \(5a+10b\).

Cho hai đường thẳng \({\Delta _1}:x + 2y - 1 = 0\) và \({\Delta _2}: - 2x + y + 10 = 0\). Khẳng định nào sau đây đúng?

a) Trong hình, quân mã đang ở vị trí có tọa độ \(\left( 1;2 \right)\).

Hỏi sau một nước đi, quân mã có thể đến những vị trí nào?

b) Xét trên khu vực biển khá nhỏ ta xem mặt biển là một mặt phẳng. Đặt vào mặt phẳng ấy một hệ trục tọa độ \(Oxy\), mỗi đơn vị trên trục ứng với 1 km. Có ba hòn đảo \(A\,,\,B\,,\,C\) có tọa độ thỏa mãn \(A\left( 1;2 \right)\), \(\overrightarrow{AB}=\left( 60;80 \right)\), \(\overrightarrow{AC}=\left( 10;10 \right)\). Một chiếc tàu chở du khách từ đảo \(A\) đến đảo \(B\) để tham quan du lịch. Khi di chuyển thì du khách thấy đảo \(C\) hiện ra thấp thoáng. Khoảng cách ngắn nhất từ chiếc tàu chở du khách đến đảo \(C\) là bao nhiêu km?

Trong mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\), cho đường thẳng \(\left( d \right):2x + 3y - 2 = 0\). Đường thẳng \(d'//d\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {a; - 3} \right)\). Tìm \(a\).

Cho điểm \(M\left( 1;-2 \right)\) và đường thẳng \(\Delta :x-2y+5=0\). Tọa độ hình chiếu của \(M\) trên \(\Delta \) là:

Đường thẳng đi qua \(M\left( {3; - 1} \right)\) và nhận vectơ \(\overrightarrow u = \left( { - 2;5} \right)\) làm vectơ chỉ phương có phương trình tham số là:

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho hai đường thẳng \({\Delta _1}:x - y + 6 = 0\), \({\Delta _2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 3 + t\end{array} \right.\).

Phương trình đường thẳng \(\left( d \right)\) đi qua điểm \(M\left( -2;\,3 \right)\) và vuông góc với đường thẳng \(\left( d' \right):3x-4y+1=0\) là:. 

Viết phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua điểm \(I\left( -1;2 \right)\) và vuông góc với đường thẳng có phương trình \(2x-y+4=0\).

Cho hai đường thẳng \({{d}_{1}}\): \(\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}   x=1-2{{t}_{1}}  \\    y=2+{{t}_{1}}  \\ \end{array} \right.\) và \({{d}_{2}}\): \(\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}   x=2+{{t}_{2}}  \\    y=5+2{{t}_{2}}  \\ \end{array} \right.\).

Số đo góc giữa hai đường thẳng \({{d}_{1}}\) và \({{d}_{2}}\) bằng:

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho điểm \(A\left( 0;5 \right)\) và đường thẳng \(d:x-y+5=0\). Viết phương trình tổng quát đường thẳng \(\Delta \) biết \(\Delta \) qua \(A\) và \(\Delta \bot d\).

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho đường thẳng \(d\) có phương trình tổng quát \(2x-y+5=0\). Một vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(d\) là:

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho hai đường thẳng:

\({{\Delta }_{1}}:2x+y-1=0\) và \({{\Delta }_{2}}:\left\{ \begin{align}  & x=2+t \\  & y=1-t \\ \end{align} \right.\)

Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}   x=-2t  \\   y=4+t\text{ }  \\\end{array}. \right.\) Vectơ nào sau đây là một vectơ pháp tuyến của \(d\)?

Trong hệ trục tọa độ \(Oxy\), véctơ nào là một véctơ pháp tuyến của đường thẳng \(d:\left\{ \begin{align}  & x=-2-t \\  & y=-1+2t \\ \end{align} \right.\)?

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho đường thẳng \(d\) có phương trình  \(\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}   x=1+2t  \\   y=3-t  \\\end{array} \right.\) (\(t\in \mathbb{R}\)). Một vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(d\) là:

Trong hệ trục toa độ \(Oxy\), tam giác ABC có phương trình đường thẳng BC là \(7x+5y-8=0\). Các phương trình đường cao kẻ từ đỉnh B, C lần lượt là \(9x-3y-4=0,\text{ }x+y-2=0.\)

Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(M(-2;1)\) và vuông góc với đường thẳng \(\Delta :\left\{ \begin{matrix}   x=1-3t  \\   y=-2+5t  \\\end{matrix} \right.\) có phương trình tham số là:

Cho \(\Delta \) là đường thẳng qua \(M\left( 2\,;\,-3 \right)\) và song song với \(d:x-4y+2025=0\). Điểm thuộc đường thẳng \(\Delta \) là: