a) Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho vectơ \(\overrightarrow{u}\) và hai đường thẳng \({{d}_{1}},{{d}_{2}}\) như hình vẽ dưới đây. Biết hai điểm \(A,B\) lần lượt thuộc \({{d}_{1}},{{d}_{2}}\) sao cho \(\overrightarrow{AB}\) cùng phương với \(\overrightarrow{u}\) và tổng \(T=OA+OB+AB\) nhỏ nhất.

 

Tìm tọa độ vectơ \(\overrightarrow{OM}\) với \(M\) là trung điểm của \(AB\).

b) Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho tam giác \(ABC\) có \(C\left( 5;1 \right)\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\), điểm \(B\) thuộc đường thẳng \(x+y+6=0\), \(N\left( 0;1 \right)\) là trung điểm của \(AM\) Điểm \(D\left( -1;-7 \right)\) không thuộc đường thẳng \(AM\) và \(A,D\) nằm khác phía so với đường thẳng \(BC\) sao cho khoảng cách từ \(A\) và \(D\) đến đường thẳng \(BC\) bằng nhau. Tính giá trị biểu thức \(T=a.b\), trong đó \(A\left( a;b \right)\).

Cho hai đường thẳng \({{d}_{1}}:2x+5y-2=0\) và \({{d}_{2}}:3x-7y+3=0\). Góc tạo bởi đường thẳng \({{d}_{1}}\) và \({{d}_{2}}\) bằng:

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho hai đường thẳng \({\Delta _1}:x - y + 6 = 0\), \({\Delta _2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 3 + t\end{array} \right.\).

Phương trình đường thẳng \(\left( d \right)\) đi qua điểm \(M\left( -2;\,3 \right)\) và vuông góc với đường thẳng \(\left( d' \right):3x-4y+1=0\) là:. 

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho điểm \(A\left( 0;5 \right)\) và đường thẳng \(d:x-y+5=0\). Viết phương trình tổng quát đường thẳng \(\Delta \) biết \(\Delta \) qua \(A\) và \(\Delta \bot d\).

Trong mặt phẳng \(Oxy\), đường thẳng \(3x - 5y + 7 = 0\) có vectơ pháp tuyến là

Côsin góc giữa \(2\) đường thẳng \({{\Delta }_{1}}\): \(10x+5y-1=0\) và \({{\Delta }_{2}}\):\(\left\{ \begin{align}  & x=2+t \\  & y=1-t \\ \end{align} \right.\) bằng:

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), đường thẳng đi qua điểm \(M\left( 2;-5 \right)\) và song song với đường thẳng \(d:3x+y-5=0\) có phương trình là:

Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}   x=-2t  \\   y=4+t\text{ }  \\\end{array}. \right.\) Vectơ nào sau đây là một vectơ pháp tuyến của \(d\)?

Trong mặt phẳng với hệ toạ độ \(Oxy\), một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d:\left\{ \begin{align}  & x=1-2t \\ 

 & y=2+3t \\ \end{align} \right.\) là:

Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho đường thẳng \(\Delta \) cắt các tia \(Ox,Oy\) lần lượt tại các điểm \(A,B\) sao cho \(OA=2,OB=5\). Phương trình tổng quát của đường thẳng \(\Delta \) có dạng \(mx+ny-20=0\). Giá trị của \(P=m+n\) là:

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) và đường thẳng \(\Delta :ax + by + c = 0\) với \({a^2} + {b^2} > 0\). Khi đó khoảng cách từ điểm \(M\) đến đường thẳng \(\Delta \) được tính bằng công thức nào sau đây?

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác \(ABC\) có \(A\left( -1;2\right)\), \(B\left( 3;4 \right)\), \(C\left( 1;-2 \right)\). Tìm tọa độ chân đường cao hạ từ đỉnh C của tam giác \(ABC\).

Cho đường thẳng \({{d}_{1}}:x-y-1=0\), \({{d}_{2}}:x+2y+1=0\) và điểm \(C\left( 0;3 \right)\).

Cho các phát biểu sau:

(I) Đường thẳng \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1\) \((a\ne 0,\,\,\,b\ne 0)\) đi qua hai điểm \(\left( a;0 \right)\) và \(\left( 0;b \right),\) phương trình dạng như thế gọi là phương trình đường thẳng theo đoạn chắn.

(II) Phương trình đường thẳng đi qua \(M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)\) và song song với Ox, với y0 ≠ 0 là \(y-{{y}_{0}}=0\).

(III) Đường thẳng \(OM,\) với \(M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)\) khác điểm O, có phương trình \({{y}_{0}}x-{{x}_{0}}y=0\).

Trong ba câu trên:

Trong mặt phẳng \(Oxy,\) góc giữa hai đường thẳng \({{\Delta }_{1}}:\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}   x=2+3t  \\   y=4-2t  \\\end{array} \right.\) và \({{\Delta }_{2}}:\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}   x=-3+2t  \\   y=1  \\\end{array} \right.\)

Trong mặt phằng với hệ tọa độ \(Oxy\), cho tam giác \(ABC\) có phương trình cạnh \(AB\) là \(x-y-2=0\), phương trình cạnh \(AC\) là \(x+2y-5=0\). Biết trọng tâm của tam giác là điểm \(G\left( 3;2 \right)\).

Phương trình tham số của đường thẳng qua \(M\left( 1;-2 \right)\), \(N\left( 4;3 \right)\) là:

Tìm góc giữa hai đường thẳng \({\Delta _1}:x - 2y + 15 = 0\) và \({\Delta _2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - t\\y = 4 + 2t\end{array} \right.,t \in \mathbb{R}\).

Trong mặt phẳng với hệ toạ độ \(Oxy\), cho hai đường thẳng \(\Delta :3x-4y=6\); \({\Delta }':x-y-1=0\). Gọi \(M\left( {{x}_{0}};\,{{y}_{0}} \right)\) là điểm nằm trên đường thẳng \({\Delta }'\) và cách đường thẳng \(\Delta \) một khoảng bằng \(\frac{4}{5}\). Tính \({{x}_{0}}+\,{{y}_{0}}\)biết điểm \(M\) nằm bên trái trục tung.

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) và đường thẳng \(\Delta :ax + by + c = 0\) với \({a^2} + {b^2} > 0\). Khi đó khoảng cách từ điểm \(M\) đến đường thẳng \(\Delta \) được tính bằng công thức nào sau đây?