Xác suất để 1 con gà đẻ là 0,6. Trong chuồng có 6 con, xác suất để trong một ngày có ít nhất 1 con gà đẻ:

Để thi đạt, thí sinh cần trả lời đúng ít nhất 5 câu. Ta sẽ tính xác suất để thí sinh trả lời đúng k câu (với k từ 5 đến 10). Xác suất trả lời đúng 1 câu là 1/4, và sai là 3/4. Số cách chọn k câu đúng trong 10 câu là C(10, k).

Xác suất trả lời đúng k câu là: P(k) = C(10, k) * (1/4)^k * (3/4)^(10-k)

Xác suất thi đạt là tổng xác suất trả lời đúng từ 5 đến 10 câu:
P = P(5) + P(6) + P(7) + P(8) + P(9) + P(10)

P = C(10, 5) * (1/4)^5 * (3/4)^5 + C(10, 6) * (1/4)^6 * (3/4)^4 + C(10, 7) * (1/4)^7 * (3/4)^3 + C(10, 8) * (1/4)^8 * (3/4)^2 + C(10, 9) * (1/4)^9 * (3/4)^1 + C(10, 10) * (1/4)^10 * (3/4)^0

P = 252 * (1/1024) * (243/1024) + 210 * (1/4096) * (81/256) + 120 * (1/16384) * (27/64) + 45 * (1/65536) * (9/16) + 10 * (1/262144) * (3/4) + 1 * (1/1048576) * 1

P ≈ 252 * 0.0009765625 * 0.2373046875 + 210 * 0.000244140625 * 0.31640625 + 120 * 0.00006103515625 * 0.421875 + 45 * 0.0000152587890625 * 0.5625 + 10 * 0.000003814697265625 * 0.75 + 1 * 0.00000095367431640625

P ≈ 0.058399 + 0.016200 + 0.003076 + 0.000387 + 0.000029 + 0.000001
P ≈ 0.078092

Vậy xác suất thi đạt gần nhất là 0,078. Tuy nhiên, không có đáp án nào gần với kết quả này. Có lẽ có một lỗi trong các phương án trả lời hoặc trong cách đặt câu hỏi.

Trong trường hợp này, vì không có đáp án nào thực sự đúng, ta chọn đáp án gần đúng nhất, tuy nhiên, vẫn phải lưu ý rằng kết quả thực tế khác xa các phương án được đưa ra.

Để tìm giá trị của k, ta sử dụng tính chất của hàm mật độ xác suất, tức là tích phân của hàm mật độ trên toàn miền xác định phải bằng 1. Trong trường hợp này, miền xác định là [1, 3].

Vậy ta có:
∫13f(x)dx=1∫13f(x)dx=1
∫13k(x2−1)dx=1∫13k(x2−1)dx=1
k∫13(x2−1)dx=1k∫13(x2−1)dx=1
k[x33−x]13=1k[x33−x]13=1
k[(333−3)−(133−1)]=1k[(333−3)−(133−1)]=1
k[(9−3)−(13−1)]=1k[(9−3)−(13−1)]=1
k[6−(−23)]=1k[6−(−23)]=1
k[6+23]=1k[6+23]=1
k[203]=1k[203]=1

Vậy, k = 3/20

Xác suất chọn được bi xanh từ hộp I là: P(Xanh I) = 3/10.
Xác suất chọn được bi xanh từ hộp II là: P(Xanh II) = 5/12.
Xác suất để cả 2 bi đều xanh là: P(Xanh I và Xanh II) = P(Xanh I) * P(Xanh II) = (3/10) * (5/12) = 15/120 = 1/8.

Để tính P(0.5 < X), ta cần tính tích phân của hàm mật độ xác suất f(x) từ 0.5 đến 1.

P(0.5 < X) = ∫0.51 f(x) dx = ∫0.51 4x³ dx

Tính tích phân:
∫0.51 4x³ dx = [x⁴]0.51 = (1⁴) - (0.5⁴) = 1 - 0.0625 = 0.9375

Vậy P(0.5 < X) = 0.9375.
Tuy nhiên, đề bài yêu cầu tính P(0.55 > X), điều này có nghĩa là tính P(X < 0.55)
P(X < 0.55) = ∫00.55 4x³ dx = [x⁴]00.55 = (0.55)⁴ - 0⁴ = 0.09150625
Vậy P(X < 0.55) ≈ 0.0915

Tổng số bi trong hộp là 15. Số bi đen là 10. Xác suất rút được bi đen là số bi đen chia cho tổng số bi, tức là 10/15 = 2/3 ≈ 0.6667. Vì vậy, đáp án gần đúng nhất là 0,6.