Trong hộp có 15 viên bi cùng kích cỡ, gồm 5 trắng và 10 đen. Xác suất rút trong hộp ra viên bi den:

Đề bài cho hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên X. Ta cần tính P(X≤1/4) + P(X≥1/2). Tuy nhiên, có vẻ như có một lỗi nhỏ trong câu hỏi, vì điều kiện của hàm mật độ là 0 < x < 1. Do đó, P(X ≤ 1/4) và P(X ≥ 1/2) đều có nghĩa. Ta sẽ tính từng phần một:

1. Tính P(X ≤ 1/4):
P(X ≤ 1/4) = ∫[0 đến 1/4] f(x) dx = ∫[0 đến 1/4] (2(x+2)/5) dx
= (2/5) ∫[0 đến 1/4] (x+2) dx = (2/5) [x^2/2 + 2x] |[0 đến 1/4]
= (2/5) [(1/16)/2 + 2*(1/4) - 0] = (2/5) [1/32 + 1/2] = (2/5) [1/32 + 16/32] = (2/5) * (17/32) = 17/80

2. Tính P(X ≥ 1/2):
P(X ≥ 1/2) = ∫[1/2 đến 1] f(x) dx = ∫[1/2 đến 1] (2(x+2)/5) dx
= (2/5) ∫[1/2 đến 1] (x+2) dx = (2/5) [x^2/2 + 2x] |[1/2 đến 1]
= (2/5) [(1/2 + 2) - (1/8 + 1)] = (2/5) [5/2 - 9/8] = (2/5) [20/8 - 9/8] = (2/5) * (11/8) = 11/20

3. Tính tổng P(X ≤ 1/4) + P(X ≥ 1/2):
P(X ≤ 1/4) + P(X ≥ 1/2) = 17/80 + 11/20 = 17/80 + 44/80 = 61/80 = 0.7625

Vậy đáp án là 0.7625

Đây là bài toán về phép thử Bernoulli. Mỗi lần gieo đồng xu là một phép thử Bernoulli với xác suất thành công (mặt ngửa) là p = 1/2 và xác suất thất bại (mặt sấp) là q = 1/2. Ta cần tìm xác suất để có đúng 4 lần mặt ngửa trong 6 lần gieo. Sử dụng công thức Bernoulli:

P(k lần thành công trong n phép thử) = C(n, k) * p^k * q^(n-k)

Trong trường hợp này, n = 6, k = 4, p = 1/2, q = 1/2.

P(4 lần ngửa) = C(6, 4) * (1/2)^4 * (1/2)^(6-4) = C(6, 4) * (1/2)^4 * (1/2)^2

C(6, 4) = 6! / (4! * 2!) = (6 * 5) / (2 * 1) = 15

P(4 lần ngửa) = 15 * (1/16) * (1/4) = 15 / 64

Vậy đáp án đúng là 15/64.

Gọi A, B, C là ba biến cố độc lập. Xác suất để ít nhất một biến cố xảy ra là: P(A ∪ B ∪ C) = 1 - P(A̅ ∩ B̅ ∩ C̅) = 1 - P(A̅)P(B̅)P(C̅)
Ta có: P(A) = 1/2 => P(A̅) = 1 - 1/2 = 1/2
P(B) = 2/3 => P(B̅) = 1 - 2/3 = 1/3
P(C) = 1/4 => P(C̅) = 1 - 1/4 = 3/4
=> P(A ∪ B ∪ C) = 1 - (1/2)(1/3)(3/4) = 1 - 1/8 = 7/8

Số cách chia 9 hộp sữa thành 3 phần bằng nhau là: C(9,3) * C(6,3) * C(3,3) / 3! = (9!)/(3!3!3!3!) = 280
Số cách chia 3 hộp sữa kém phẩm chất vào 3 phần là 1 cách (mỗi phần 1 hộp).
Số cách chia 6 hộp sữa tốt vào 3 phần là: C(6,2) * C(4,2) * C(2,2) / 3! = (6!)/(2!2!2!3!) = 15
Vậy xác suất cần tìm là: (1 * 15)/280 = 15/280 = 3/56. Tuy nhiên, có vẻ như các đáp án không có kết quả này. Để giải quyết vấn đề này, ta xem xét lại cách chia.

Tổng số cách chia 9 hộp sữa thành 3 phần là C(9,3)*C(6,3)*C(3,3) = 84*20*1 = 1680 cách. Do thứ tự của 3 phần không quan trọng nên ta chia cho 3! = 6, suy ra số cách chia là 1680/6 = 280 cách.

Để mỗi phần có đúng 1 hộp kém chất lượng, ta có: C(3,1)*C(6,2) * C(2,1)*C(4,2) * C(1,1)*C(2,2) = 3*15 * 2*6 * 1*1 = 540 cách.
Sau đó chia cho 3! vì thứ tự các phần không quan trọng. Lúc này tính sai vì đã coi các hộp kém phẩm chất là phân biệt.
Số cách chia 3 hộp kém chất lượng vào 3 phần là 1 cách.
Số cách chia 6 hộp tốt vào 3 phần, mỗi phần 2 hộp là C(6,2)*C(4,2)*C(2,2) / 3! = 15*6*1/6 = 15 cách.
Số cách chọn 3 phần cho 3 hộp kém phẩm chất là 1.
Vậy xác suất là 15/280 = 3/56.

Ta có thể hiểu là mỗi phần sẽ có 3 hộp. Chọn 3 hộp bất kì trong 9 hộp có C(9,3) = 84 cách.
Số cách để chọn 1 hộp kém phẩm chất và 2 hộp tốt là: C(3,1) * C(6,2) = 3 * 15 = 45.
Vậy xác suất để phần 1 có 1 hộp kém phẩm chất là 45/84 = 15/28.
Tiếp theo, xét phần 2. Còn lại 2 hộp kém phẩm chất và 4 hộp tốt. Chọn 3 hộp bất kì trong 6 hộp có C(6,3) = 20 cách.
Số cách để chọn 1 hộp kém phẩm chất và 2 hộp tốt là: C(2,1) * C(4,2) = 2 * 6 = 12.
Vậy xác suất để phần 2 có 1 hộp kém phẩm chất là 12/20 = 3/5.
Cuối cùng, phần 3 còn lại 1 hộp kém phẩm chất và 2 hộp tốt.

Vậy xác suất để mỗi phần có 1 hộp kém phẩm chất là (15/28) * (3/5) * 1 = 9/28.

Để tính xác suất lấy được 2 sản phẩm tốt từ 3 sản phẩm được chọn, ta sử dụng công thức tổ hợp.

Tổng số cách chọn 3 sản phẩm từ 9 sản phẩm là: C(9, 3) = 9! / (3! * 6!) = (9 * 8 * 7) / (3 * 2 * 1) = 84

Số cách chọn 2 sản phẩm tốt từ 5 sản phẩm tốt là: C(5, 2) = 5! / (2! * 3!) = (5 * 4) / (2 * 1) = 10

Số cách chọn 1 phế phẩm từ 4 phế phẩm là: C(4, 1) = 4! / (1! * 3!) = 4

Số cách chọn 2 sản phẩm tốt và 1 phế phẩm là: C(5, 2) * C(4, 1) = 10 * 4 = 40

Xác suất để lấy được 2 sản phẩm tốt là: P = (Số cách chọn 2 sản phẩm tốt và 1 phế phẩm) / (Tổng số cách chọn 3 sản phẩm) = 40 / 84 = 10 / 21

Vậy, đáp án đúng là 10/21.