Tính $\int {\cos x\cos 2xdx}$

Để tính tích phân $\int {\cos x\cos 2xdx}$, ta sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng: $\cos a \cos b = \frac{1}{2}[\cos(a+b) + \cos(a-b)]$ Áp dụng công thức này, ta có: $\cos x \cos 2x = \frac{1}{2}[\cos(x+2x) + \cos(x-2x)] = \frac{1}{2}[\cos 3x + \cos(-x)] = \frac{1}{2}[\cos 3x + \cos x]$ Vậy, $\int {\cos x\cos 2xdx} = \int {\frac{1}{2}(\cos 3x + \cos x)dx} = \frac{1}{2}\int {(\cos 3x + \cos x)dx} = \frac{1}{2}(\int {\cos 3xdx} + \int {\cos xdx})$ Ta có: $\int {\cos 3xdx} = \frac{1}{3}\sin 3x + C_1$ $\int {\cos xdx} = \sin x + C_2$ Do đó, $\int {\cos x\cos 2xdx} = \frac{1}{2}(\frac{1}{3}\sin 3x + \sin x) + C = \frac{1}{6}\sin 3x + \frac{1}{2}\sin x + C$ Sử dụng công thức $\sin 3x = 3\sin x - 4\sin^3 x$, ta có: $\frac{1}{6}\sin 3x + \frac{1}{2}\sin x = \frac{1}{6}(3\sin x - 4\sin^3 x) + \frac{1}{2}\sin x = \frac{1}{2}\sin x - \frac{2}{3}\sin^3 x + \frac{1}{2}\sin x = \sin x - \frac{2}{3}\sin^3 x$ Vậy $\int {\cos x\cos 2xdx} = - \frac{2}{3}\sin^3 x + \sin x + C$. Vậy đáp án đúng là phương án C.