Tính đạo hàm cấp n của hàm số \(y = \frac{{2x + 1}}{{{x^2} - 3x + 2}}\)
A.
\({y^{(n)}} = \frac{{5.{{( - 1)}^n}.n!}}{{{{(x - 2)}^{n + 1}}}} + \frac{{3.{{( - 1)}^n}.n!}}{{{{(x - 1)}^{n + 1}}}}\)
B.
\({y^{(n)}} = \frac{{5.{{( - 1)}^n}.n!}}{{{{(x + 2)}^{n + 1}}}} - \frac{{3.{{( - 1)}^n}.n!}}{{{{(x - 1)}^{n + 1}}}}\)
C.
\({y^{(n)}} = \frac{{5.{{( - 1)}^n}.n!}}{{{{(x - 2)}^{n + 1}}}}:\frac{{3.{{( - 1)}^n}.n!}}{{{{(x - 1)}^{n + 1}}}}\)
D.
\({y^{(n)}} = \frac{{5.{{( - 1)}^n}.n!}}{{{{(x - 2)}^{n + 1}}}} - \frac{{3.{{( - 1)}^n}.n!}}{{{{(x - 1)}^{n + 1}}}}\)
Trả lời:
Đáp án đúng: D
Để tìm đạo hàm cấp n của hàm số \(y = \frac{{2x + 1}}{{{x^2} - 3x + 2}}\) , ta thực hiện các bước sau:
1. **Phân tích thành phân số đơn giản:**
Phân tích mẫu số: \(x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)\)
Phân tích biểu thức thành phân số đơn giản: \(\frac{{2x + 1}}{{(x - 1)(x - 2)}} = \frac{A}{{x - 2}} + \frac{B}{{x - 1}}\)
Quy đồng và giải hệ phương trình để tìm A và B:
\(2x + 1 = A(x - 1) + B(x - 2)\)
Chọn \(x = 1\): \(2(1) + 1 = B(1 - 2) \Rightarrow 3 = -B \Rightarrow B = -3\)
Chọn \(x = 2\): \(2(2) + 1 = A(2 - 1) \Rightarrow 5 = A \Rightarrow A = 5\)
Vậy, \(y = \frac{5}{{x - 2}} - \frac{3}{{x - 1}}\)
2. **Tìm đạo hàm cấp n của từng phân số:**
Ta biết rằng đạo hàm cấp n của \(\frac{1}{{x - a}}\) là \(\frac{{{{( - 1)}^n}.n!}}{{{{(x - a)}^{n + 1}}}}\)
Do đó:
\(\frac{{{d^n}}}{{d{x^n}}}\left( \frac{5}{{x - 2}} \right) = 5.\frac{{{{( - 1)}^n}.n!}}{{{{(x - 2)}^{n + 1}}}}\)
\(\frac{{{d^n}}}{{d{x^n}}}\left( \frac{3}{{x - 1}} \right) = 3.\frac{{{{( - 1)}^n}.n!}}{{{{(x - 1)}^{n + 1}}}}\)
3. **Kết hợp lại:**
\({y^{(n)}} = 5.\frac{{{{( - 1)}^n}.n!}}{{{{(x - 2)}^{n + 1}}}} - 3.\frac{{{{( - 1)}^n}.n!}}{{{{(x - 1)}^{n + 1}}}}\)
Vậy đáp án đúng là D.
40 câu hỏi 60 phút
