Quả cầu bán kính R = 5cm, lăn đều, không trượt trên hai thanh ray song song cách nhau một khoảng d = 6cm. Sau 2s, tâm quả cầu tịnh tiến được 120cm. Tính vận tốc tức thời của điểm M trên quả cầu (hình 3.11).
Đáp án đúng: D
Để giải bài toán này, ta cần phân tích chuyển động của quả cầu. Vì quả cầu lăn không trượt, nên vận tốc dài của một điểm trên vành quả cầu bằng vận tốc tịnh tiến của tâm quả cầu.
1. **Tính vận tốc tịnh tiến của tâm quả cầu:**
Tâm quả cầu tịnh tiến được 120cm = 1.2m trong 2s, vậy vận tốc tịnh tiến của tâm quả cầu là:
v = s/t = 1.2m / 2s = 0.6 m/s
2. **Xác định vận tốc góc của quả cầu:**
Vì quả cầu lăn không trượt, ta có mối liên hệ giữa vận tốc tịnh tiến v của tâm và vận tốc góc ω của quả cầu là:
v = ωR
Suy ra, ω = v/R = 0.6 m/s / 0.05 m = 12 rad/s
3. **Tính vận tốc của điểm M:**
Điểm M nằm trên vành quả cầu. Vận tốc của điểm M là tổng hợp của vận tốc tịnh tiến của tâm và vận tốc do quay quanh tâm.
Vì hai thanh ray song song cách nhau 6cm, nhỏ hơn đường kính quả cầu (10cm), nên điểm M nằm ở vị trí mà vận tốc do quay và vận tốc tịnh tiến cùng phương, cùng chiều.
Vận tốc của điểm M là:
v_M = v + ωr
Trong đó, r là khoảng cách từ điểm M đến trục quay. Vì điểm M nằm trên vành quả cầu và hai thanh ray song song, ta cần tính khoảng cách từ M đến tâm quả cầu theo phương vuông góc với phương chuyển động. Giả sử khoảng cách giữa hai thanh ray là d=6cm, bán kính quả cầu là R=5cm.
Ta có sin(α) = d/(2R) = 6/(2*5) = 0.6. Suy ra α = arcsin(0.6)
Hình chiếu của điểm M xuống phương vuông góc với phương chuyển động là r = R.
Vận tốc của điểm M bằng: v_M = v + ω * R = 0.6 + 12*0.05 = 0.6 + 0.6 = 1.2 m/s
Vậy, đáp án đúng là B. 1,2 m/s.
Câu hỏi liên quan
Áp dụng định lý Steiner (hay còn gọi là định lý Huygens-Steiner), mômen quán tính đối với một trục song song với trục đi qua tâm và cách tâm một khoảng R (trong trường hợp này là tiếp tuyến của vòng dây) là:
I = I_0 + mR^2 = mR^2 + mR^2 = 2mR^2
Vậy đáp án đúng là D. 32mR2
Mômen quán tính của một chất điểm đối với trục quay là I = mr2, với m là khối lượng của chất điểm và r là khoảng cách từ chất điểm đến trục quay.
Trong trường hợp này, ta có bốn quả cầu nhỏ đặt ở các đỉnh của một hình vuông cạnh 2m. Trục quay đi qua trung điểm của hai cạnh đối diện.
Vậy, khoảng cách từ mỗi quả cầu đến trục quay là một nửa cạnh hình vuông, tức là r = 2m / 2 = 1m.
Mômen quán tính của mỗi quả cầu là I = mr2 = 0,5kg * (1m)2 = 0,5 kgm2.
Vì có bốn quả cầu, nên mômen quán tính của cả hệ là Ihệ = 4 * I = 4 * 0,5 kgm2 = 2 kgm2.
Bài toán này liên quan đến định luật II Newton cho chuyển động quay và chuyển động tịnh tiến. Ta cần xác định gia tốc của hệ, lực căng dây và từ đó tính áp lực lên trục ròng rọc.
Chọn chiều dương hướng xuống cho vật m1 và chiều dương ngược chiều kim đồng hồ cho ròng rọc.
Áp dụng định luật II Newton cho các vật:
- Vật m1: m1.g - T1 = m1.a (1)
- Vật m2: T2 - m2.g = m2.a (2)
- Ròng rọc: (T1 - T2).R = I.γ = (1/2).m.R2.(a/R) => T1 - T2 = (1/2).m.a (3)
Từ (1), (2) và (3) ta có hệ phương trình ba ẩn T1, T2 và a. Giải hệ phương trình này, ta được:
a = (m1 - m2).g / (m1 + m2 + m/2) = (2,6 - 1).10 / (2,6 + 1 + 0,8/2) = 16/3,6 = 4,44 m/s2
T1 = m1.g - m1.a = 2,6.10 - 2,6.4,44 = 26 - 11,544 = 14,456 N
T2 = m2.g + m2.a = 1.10 + 1.4,44 = 14,44 N
Áp lực Q mà trục ròng rọc phải chịu là:
Q = T1 + T2 + P = T1 + T2 + m.g = 14,456 + 14,44 + 0,8.10 = 28,896 + 8 = 36,896 ≈ 36,9 N
Vậy đáp án gần đúng nhất là D.
Để thang không bị trượt, ta cần xét các điều kiện cân bằng lực và moment.
- Chọn hệ tọa độ Oxy với Ox nằm ngang và Oy thẳng đứng.
- Các lực tác dụng lên thang bao gồm:
- Trọng lực P tác dụng tại trung điểm của thang.
- Phản lực N1 của tường tác dụng vào đầu trên của thang.
- Phản lực N2 của sàn tác dụng vào đầu dưới của thang.
- Lực ma sát nghỉ Fms1 của tường tác dụng vào đầu trên của thang (hướng lên).
- Lực ma sát nghỉ Fms2 của sàn tác dụng vào đầu dưới của thang (hướng vào).
- Điều kiện cân bằng lực:
- Tổng lực theo phương ngang: N1 = Fms2
- Tổng lực theo phương đứng: N2 = P - Fms1
- Điều kiện cân bằng moment (chọn trục quay tại điểm tiếp xúc của thang với sàn):
- N1 * L * sin(α) + Fms1 * L * sin(90 - α) = P * (L/2) * cos(α)
- Lực ma sát nghỉ cực đại:
- Fms1 = µ1 * N1
- Fms2 = µ2 * N2
Từ các phương trình trên, ta có:
- N1 = µ2 * N2
- N2 = P - µ1 * N1 = P - µ1 * µ2 * N2 => N2 = P / (1 + µ1 * µ2)
- N1 = µ2 * P / (1 + µ1 * µ2)
Thay vào phương trình moment:
µ2 * P / (1 + µ1 * µ2) * L * sin(α) + µ1 * µ2 * P / (1 + µ1 * µ2) * L * cos(α) = P * (L/2) * cos(α)
Chia cả hai vế cho P*L và nhân với (1 + µ1 * µ2):
µ2 * sin(α) + µ1 * µ2 * cos(α) = (1/2) * cos(α) * (1 + µ1 * µ2)
µ2 * sin(α) = cos(α) * (1/2 + µ1 * µ2 / 2 - µ1 * µ2)
µ2 * sin(α) = cos(α) * (1/2 - µ1 * µ2 / 2)
tan(α) = (1/2 - µ1 * µ2 / 2) / µ2 = (1 - µ1 * µ2) / (2 * µ2)
Thay số: µ1 = 0,4; µ2 = 0,5
tan(α) = (1 - 0,4 * 0,5) / (2 * 0,5) = (1 - 0,2) / 1 = 0,8
α = arctan(0,8) ≈ 38,66o
Vậy không có đáp án nào đúng trong các phương án đã cho.
Chuyển động ném ngang có các đặc điểm sau:
- Chuyển động theo phương ngang là chuyển động thẳng đều với vận tốc v0.
- Chuyển động theo phương thẳng đứng là chuyển động rơi tự do với gia tốc g.
Gia tốc của vật luôn là g, hướng thẳng đứng xuống dưới.
Gia tốc tiếp tuyến at là thành phần của gia tốc g theo phương tiếp tuyến của quỹ đạo.
Gọi α là góc giữa phương tiếp tuyến của quỹ đạo và phương ngang. Ta có: tanα = gt/v0
at = g.sinα = g.tanα / √(1 + tan²α) = g.(gt/v0) / √(1 + (gt/v0)²) = g²t / √(v0² + g²t²)
Vậy đáp án đúng là C.
