Một tập hợp 100 phần tử có bao nhiêu tập con có 2 phần tử?

Theo đề bài, ta có quan hệ R được xác định bởi aRb khi và chỉ khi a + b = 2k+1, với k là số tự nhiên (k=1,2,...). Điều này có nghĩa là a + b phải là một số lẻ. Để a + b là một số lẻ, thì một trong hai số a hoặc b phải là số chẵn và số còn lại là số lẻ.

Xét từng cặp số trong các đáp án:

• Đáp án A: {(1,2),(1,4),(2,3),(2,5)}. Ta thấy: 1+2=3 (lẻ), 1+4=5 (lẻ), 2+3=5 (lẻ), 2+5=7 (lẻ). Tất cả các cặp đều thỏa mãn.
• Đáp án B: {(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5), (1,2),(1,4),(2,3),(2,5)}. Các cặp (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5) không thỏa mãn vì tổng của chúng là số chẵn.
• Đáp án C: {(1,2),(2,1),(1,4),(4,1), (2,5), (5,2)}. Ta thấy: 1+2=3 (lẻ), 2+1=3 (lẻ), 1+4=5 (lẻ), 4+1=5 (lẻ), 2+5=7 (lẻ), 5+2=7 (lẻ). Tất cả các cặp đều thỏa mãn. Tuy nhiên, đáp án này thiếu các cặp (3,4), (4,3), (3,2),...
• Đáp án D: {(1,2),(2,1),(1,4),(4,1), (2,5), (5,2),(3,4),(4,3),(2,3),(3,2),(4,5),(5,4)}. Ta thấy: 1+2=3 (lẻ), 2+1=3 (lẻ), 1+4=5 (lẻ), 4+1=5 (lẻ), 2+5=7 (lẻ), 5+2=7 (lẻ), 3+4=7 (lẻ), 4+3=7 (lẻ), 2+3=5 (lẻ), 3+2=5 (lẻ), 4+5=9 (lẻ), 5+4=9 (lẻ). Tất cả các cặp đều thỏa mãn. Đáp án này đầy đủ nhất.

Vậy đáp án đúng là D.

Để một quan hệ là quan hệ tương đương, nó phải thỏa mãn ba tính chất: phản xạ, đối xứng và bắc cầu.

• Phản xạ: Với mọi a thuộc A, (a, a) phải thuộc quan hệ.
• Đối xứng: Nếu (a, b) thuộc quan hệ thì (b, a) cũng phải thuộc quan hệ.
• Bắc cầu: Nếu (a, b) và (b, c) thuộc quan hệ thì (a, c) cũng phải thuộc quan hệ.

Xét từng phương án:

• Phương án A: {(1,1), (1,2), (1,3), (2,2), (2,1), (2,3), (3,3), (1,5), (5,1)}. Thiếu (5,5), không có tính phản xạ, do đó không phải quan hệ tương đương. (1,3) và (2,3) thuộc quan hệ nhưng (1,2) phải thuộc quan hệ để thỏa mãn tính bắc cầu.
• Phương án B: {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (1,2), (2,1), (1,3), (3,1)}. Có tính phản xạ (có tất cả (i,i) với i thuộc A). Có tính đối xứng (nếu có (a,b) thì có (b,a)). Có tính bắc cầu. Ví dụ: (1,2) và (2,1) thì có (1,1). (1,3) và (3,1) thì có (1,1).
• Phương án C: {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (3,3), (4,4)}. Thiếu (5,5), không có tính phản xạ, do đó không phải quan hệ tương đương.
• Phương án D: {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (2,1), (1,2), (3,4), (4,3)}. Có tính phản xạ, có tính đối xứng. Tuy nhiên, (2,1) và (1,2) thuộc quan hệ, (3,4) và (4,3) thuộc quan hệ, nhưng lại không có các cặp (2,3), (3,2), (1,4), (4,1) nên không có tính bắc cầu.

Vậy đáp án đúng là B.

Để tìm lớp tương đương của phần tử -7 theo quan hệ R, ta cần tìm tất cả các phần tử b trong tập A sao cho a ≡ b (mod 4) với a = -7. Điều này có nghĩa là -7 và b có cùng số dư khi chia cho 4, hay (b - (-7)) chia hết cho 4, tức là (b + 7) chia hết cho 4.

Xét các phần tử trong tập A:

\n
• -12: -12 + 7 = -5 (không chia hết cho 4)
\n
• -11: -11 + 7 = -4 (chia hết cho 4)
\n
• -10: -10 + 7 = -3 (không chia hết cho 4)
\n
• -9: -9 + 7 = -2 (không chia hết cho 4)
\n
• -8: -8 + 7 = -1 (không chia hết cho 4)
\n
• -7: -7 + 7 = 0 (chia hết cho 4)
\n
• -6: -6 + 7 = 1 (không chia hết cho 4)
\n
• -5: -5 + 7 = 2 (không chia hết cho 4)
\n
• -3: -3 + 7 = 4 (chia hết cho 4)
\n
• 1: 1 + 7 = 8 (chia hết cho 4)
\n
• 5: 5 + 7 = 12 (chia hết cho 4)
\n
• 9: 9 + 7 = 16 (chia hết cho 4)
\n

Vậy, lớp tương đương của -7 là tập hợp các phần tử b trong A sao cho (b + 7) chia hết cho 4. Các phần tử thỏa mãn là: -11, -7, -3, 1, 5, 9.

So sánh với các đáp án, ta thấy đáp án B là đúng.