Một lô hàng gồm 7 sản phẩm, trong đó có 3 phế phẩm. Chọn ngẫu nhiên 4 sản phẩm từ lô hàng. X là số sản phẩm tốt lấy được. Phương sai D(X):

Gọi A là biến cố "người đó hút thuốc lá", B là biến cố "người đó bị viêm họng".
Ta có: P(A) = 0.3, P(¬A) = 0.7
P(B|A) = 0.6, P(B|¬A) = 0.3
Suy ra: P(¬B|A) = 1 - P(B|A) = 1 - 0.6 = 0.4
P(¬B|¬A) = 1 - P(B|¬A) = 1 - 0.3 = 0.7
Ta cần tính P(A|¬B), tức xác suất người đó hút thuốc lá nếu biết người đó không bị viêm họng.
Áp dụng công thức Bayes:
P(A|¬B) = [P(¬B|A) * P(A)] / [P(¬B|A) * P(A) + P(¬B|¬A) * P(¬A)]
P(A|¬B) = (0.4 * 0.3) / (0.4 * 0.3 + 0.7 * 0.7) = 0.12 / (0.12 + 0.49) = 0.12 / 0.61 ≈ 0.1967
Vậy, xác suất để người đó hút thuốc lá nếu người đó không bị viêm họng là khoảng 0.1967.

Hoán vị của n phần tử là một cách sắp xếp n phần tử đó vào n vị trí khác nhau. Chỉnh hợp chập k của n phần tử là một cách chọn k phần tử từ n phần tử và sắp xếp k phần tử đó vào k vị trí khác nhau. Vậy đáp án B là chính xác nhất.

Gọi X là số gà đẻ trứng trong 6 con. X tuân theo phân phối nhị thức B(6, 0.6).

Xác suất để ít nhất 1 con gà đẻ trứng là P(X >= 1) = 1 - P(X = 0).

P(X = 0) = (6C0) * (0.6)^0 * (0.4)^6 = 1 * 1 * 0.004096 = 0.004096.

P(X >= 1) = 1 - 0.004096 = 0.995904 ≈ 0.9959.

Vậy đáp án đúng là D.

Để thi đạt, thí sinh cần trả lời đúng ít nhất 5 câu. Ta sẽ tính xác suất để thí sinh trả lời đúng k câu (với k từ 5 đến 10). Xác suất trả lời đúng 1 câu là 1/4, và sai là 3/4. Số cách chọn k câu đúng trong 10 câu là C(10, k).

Xác suất trả lời đúng k câu là: P(k) = C(10, k) * (1/4)^k * (3/4)^(10-k)

Xác suất thi đạt là tổng xác suất trả lời đúng từ 5 đến 10 câu:
P = P(5) + P(6) + P(7) + P(8) + P(9) + P(10)

P = C(10, 5) * (1/4)^5 * (3/4)^5 + C(10, 6) * (1/4)^6 * (3/4)^4 + C(10, 7) * (1/4)^7 * (3/4)^3 + C(10, 8) * (1/4)^8 * (3/4)^2 + C(10, 9) * (1/4)^9 * (3/4)^1 + C(10, 10) * (1/4)^10 * (3/4)^0

P = 252 * (1/1024) * (243/1024) + 210 * (1/4096) * (81/256) + 120 * (1/16384) * (27/64) + 45 * (1/65536) * (9/16) + 10 * (1/262144) * (3/4) + 1 * (1/1048576) * 1

P ≈ 252 * 0.0009765625 * 0.2373046875 + 210 * 0.000244140625 * 0.31640625 + 120 * 0.00006103515625 * 0.421875 + 45 * 0.0000152587890625 * 0.5625 + 10 * 0.000003814697265625 * 0.75 + 1 * 0.00000095367431640625

P ≈ 0.058399 + 0.016200 + 0.003076 + 0.000387 + 0.000029 + 0.000001
P ≈ 0.078092

Vậy xác suất thi đạt gần nhất là 0,078. Tuy nhiên, không có đáp án nào gần với kết quả này. Có lẽ có một lỗi trong các phương án trả lời hoặc trong cách đặt câu hỏi.

Trong trường hợp này, vì không có đáp án nào thực sự đúng, ta chọn đáp án gần đúng nhất, tuy nhiên, vẫn phải lưu ý rằng kết quả thực tế khác xa các phương án được đưa ra.

Để tìm giá trị của k, ta sử dụng tính chất của hàm mật độ xác suất, tức là tích phân của hàm mật độ trên toàn miền xác định phải bằng 1. Trong trường hợp này, miền xác định là [1, 3].

Vậy ta có:
∫13f(x)dx=1∫13f(x)dx=1
∫13k(x2−1)dx=1∫13k(x2−1)dx=1
k∫13(x2−1)dx=1k∫13(x2−1)dx=1
k[x33−x]13=1k[x33−x]13=1
k[(333−3)−(133−1)]=1k[(333−3)−(133−1)]=1
k[(9−3)−(13−1)]=1k[(9−3)−(13−1)]=1
k[6−(−23)]=1k[6−(−23)]=1
k[6+23]=1k[6+23]=1
k[203]=1k[203]=1

Vậy, k = 3/20