Ở một vùng dân cư, cứ 100 người có 30 người hút thuốc lá. Biết rằng tỷ lệ bị viêm họng trong số người hút thuốc lá là 60%, còn số người không hút thuốc lá là 30%. Khám ngẫu nhiên 1 người thì thấy anh ta bị viêm họng. Nếu người đó không bị viêm họng thì xác suất người đó hút thuốc lá là:

Hoán vị của n phần tử là một cách sắp xếp n phần tử đó vào n vị trí khác nhau. Chỉnh hợp chập k của n phần tử là một cách chọn k phần tử từ n phần tử và sắp xếp k phần tử đó vào k vị trí khác nhau. Vậy đáp án B là chính xác nhất.

Gọi X là số gà đẻ trứng trong 6 con. X tuân theo phân phối nhị thức B(6, 0.6).

Xác suất để ít nhất 1 con gà đẻ trứng là P(X >= 1) = 1 - P(X = 0).

P(X = 0) = (6C0) * (0.6)^0 * (0.4)^6 = 1 * 1 * 0.004096 = 0.004096.

P(X >= 1) = 1 - 0.004096 = 0.995904 ≈ 0.9959.

Vậy đáp án đúng là D.

Để thi đạt, thí sinh cần trả lời đúng ít nhất 5 câu. Ta sẽ tính xác suất để thí sinh trả lời đúng k câu (với k từ 5 đến 10). Xác suất trả lời đúng 1 câu là 1/4, và sai là 3/4. Số cách chọn k câu đúng trong 10 câu là C(10, k).

Xác suất trả lời đúng k câu là: P(k) = C(10, k) * (1/4)^k * (3/4)^(10-k)

Xác suất thi đạt là tổng xác suất trả lời đúng từ 5 đến 10 câu:
P = P(5) + P(6) + P(7) + P(8) + P(9) + P(10)

P = C(10, 5) * (1/4)^5 * (3/4)^5 + C(10, 6) * (1/4)^6 * (3/4)^4 + C(10, 7) * (1/4)^7 * (3/4)^3 + C(10, 8) * (1/4)^8 * (3/4)^2 + C(10, 9) * (1/4)^9 * (3/4)^1 + C(10, 10) * (1/4)^10 * (3/4)^0

P = 252 * (1/1024) * (243/1024) + 210 * (1/4096) * (81/256) + 120 * (1/16384) * (27/64) + 45 * (1/65536) * (9/16) + 10 * (1/262144) * (3/4) + 1 * (1/1048576) * 1

P ≈ 252 * 0.0009765625 * 0.2373046875 + 210 * 0.000244140625 * 0.31640625 + 120 * 0.00006103515625 * 0.421875 + 45 * 0.0000152587890625 * 0.5625 + 10 * 0.000003814697265625 * 0.75 + 1 * 0.00000095367431640625

P ≈ 0.058399 + 0.016200 + 0.003076 + 0.000387 + 0.000029 + 0.000001
P ≈ 0.078092

Vậy xác suất thi đạt gần nhất là 0,078. Tuy nhiên, không có đáp án nào gần với kết quả này. Có lẽ có một lỗi trong các phương án trả lời hoặc trong cách đặt câu hỏi.

Trong trường hợp này, vì không có đáp án nào thực sự đúng, ta chọn đáp án gần đúng nhất, tuy nhiên, vẫn phải lưu ý rằng kết quả thực tế khác xa các phương án được đưa ra.

Để tìm giá trị của k, ta sử dụng tính chất của hàm mật độ xác suất, tức là tích phân của hàm mật độ trên toàn miền xác định phải bằng 1. Trong trường hợp này, miền xác định là [1, 3].

Vậy ta có:
∫13f(x)dx=1∫13f(x)dx=1
∫13k(x2−1)dx=1∫13k(x2−1)dx=1
k∫13(x2−1)dx=1k∫13(x2−1)dx=1
k[x33−x]13=1k[x33−x]13=1
k[(333−3)−(133−1)]=1k[(333−3)−(133−1)]=1
k[(9−3)−(13−1)]=1k[(9−3)−(13−1)]=1
k[6−(−23)]=1k[6−(−23)]=1
k[6+23]=1k[6+23]=1
k[203]=1k[203]=1

Vậy, k = 3/20

Xác suất chọn được bi xanh từ hộp I là: P(Xanh I) = 3/10.
Xác suất chọn được bi xanh từ hộp II là: P(Xanh II) = 5/12.
Xác suất để cả 2 bi đều xanh là: P(Xanh I và Xanh II) = P(Xanh I) * P(Xanh II) = (3/10) * (5/12) = 15/120 = 1/8.