Một cuộc thi có 15 người tham dự, giả thiết rằng không có hai người nào có điểm bằng nhau. Nếu kết quả cuộc thi và việc chọn ra 4 người có điểm cao nhất thì có bao nhiêu kết quả có thể xảy ra?

Câu 34:

Đội học sinh giỏi cấp trường môn Tiếng Anh của trường THPT X theo từng khối như sau: khối 10 có 5 học sinh, khối 11 có 5 học sinh và khối 12 có 5 học sinh. Nhà trường cần chọn một đội tuyển gồm 10 học sinh tham gia IOE cấp tỉnh. Tính số cách lập đội tuyển sao cho có học sinh cả ba khối và có nhiều nhất 2 học sinh khối 10.

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Bài toán yêu cầu tính số cách chọn 10 học sinh từ 3 khối (10, 11, 12), mỗi khối có 5 học sinh, sao cho có học sinh từ cả ba khối và có nhiều nhất 2 học sinh khối 10.

Ta xét các trường hợp:

* Trường hợp 1: Chọn 2 học sinh khối 10.

* Số cách chọn 2 học sinh khối 10 là C(5, 2) = 10.
* Còn lại 8 học sinh được chọn từ khối 11 và 12. Để đảm bảo có học sinh ở cả hai khối này, ta xét các khả năng:
* Chọn 1 học sinh khối 11 và 7 học sinh khối 12: C(5, 1) * C(5, 7) = 5 * 0 = 0 (vì không thể chọn 7 học sinh từ 5 học sinh).
* Chọn 2 học sinh khối 11 và 6 học sinh khối 12: C(5, 2) * C(5, 6) = 10 * 0 = 0.
* Chọn 3 học sinh khối 11 và 5 học sinh khối 12: C(5, 3) * C(5, 5) = 10 * 1 = 10.
* Chọn 4 học sinh khối 11 và 4 học sinh khối 12: C(5, 4) * C(5, 4) = 5 * 5 = 25.
* Chọn 5 học sinh khối 11 và 3 học sinh khối 12: C(5, 5) * C(5, 3) = 1 * 10 = 10.
* Vậy số cách chọn trong trường hợp này là 10 * (10 + 25 + 10) = 10 * 45 = 450.

* Trường hợp 2: Chọn 1 học sinh khối 10.

* Số cách chọn 1 học sinh khối 10 là C(5, 1) = 5.
* Còn lại 9 học sinh được chọn từ khối 11 và 12. Để đảm bảo có học sinh ở cả hai khối này, ta xét các khả năng:
* Chọn 4 học sinh khối 11 và 5 học sinh khối 12: C(5, 4) * C(5, 5) = 5 * 1 = 5.
* Chọn 5 học sinh khối 11 và 4 học sinh khối 12: C(5, 5) * C(5, 4) = 1 * 5 = 5.
* Vậy số cách chọn trong trường hợp này là 5 * (5 + 5) = 5 * 10 = 50.

* Trường hợp 3: Chọn 0 học sinh khối 10.

* Số cách chọn 0 học sinh khối 10 là C(5, 0) = 1.
* Còn lại 10 học sinh được chọn từ khối 11 và 12. Điều này không thể xảy ra vì mỗi khối chỉ có 5 học sinh, do đó trường hợp này không hợp lệ (vì nếu chỉ chọn từ 1 khối thì sẽ không có học sinh từ cả 3 khối).

Tổng số cách chọn là 450 + 50 = 500.

Câu 35:

Giả sử X ∈ N(μ,1). Lấy mẫu với n = 16 ta tính được X̄ = 10,1. Hãy kiểm định giả thuyết H₀: μ = 10,5 với mức ý nghĩa 5%

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Để kiểm định giả thuyết H₀: μ = 10,5 với mức ý nghĩa 5%, ta sử dụng kiểm định Z vì đã biết độ lệch chuẩn của quần thể là σ = 1.

1. Tính toán giá trị kiểm định Z:
Z = (X̄ - μ₀) / (σ / √n)
Trong đó:
- X̄ = 10,1 (Trung bình mẫu)
- μ₀ = 10,5 (Giá trị trung bình giả thuyết)
- σ = 1 (Độ lệch chuẩn của quần thể)
- n = 16 (Kích thước mẫu)

Z = (10,1 - 10,5) / (1 / √16) = -0,4 / (1 / 4) = -0,4 * 4 = -1,6

2. Xác định giá trị tới hạn:
Với mức ý nghĩa α = 5% = 0,05, ta sử dụng kiểm định hai phía (vì giả thuyết đối là μ ≠ 10,5).
Giá trị tới hạn Z(α/2) = Z(0,025) = ±1,96 (tra bảng phân phối Z hoặc sử dụng phần mềm).

3. So sánh giá trị kiểm định và giá trị tới hạn:
Ta có |Z| = |-1,6| = 1,6 < 1,96. Vì giá trị kiểm định Z nằm trong vùng chấp nhận, ta không bác bỏ giả thuyết H₀.

Vậy, chúng ta chấp nhận H₀: μ = 10,5

Câu 36:

Trọng lượng các bao hàng là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn, trung bình 100 kg, phương sai 0,01. Có nhiều ý kiến phản ánh trọng lượng bị thiếu. Tổ thanh tra cân ngẫu nhiên 25 bao thì thấy trọng lượng trung bình là 98,97 kg. Với mức ý nghĩa 0,05, có thể kết luận gì?

Lời giải:

Đáp án đúng: B

Bài toán kiểm định giả thuyết về trung bình của một quần thể có phân phối chuẩn với phương sai đã biết.
Giả thuyết gốc (H0): \(\mu = 100\) (trọng lượng trung bình là 100 kg)
Giả thuyết đối (H1): \(\mu < 100\) (trọng lượng trung bình nhỏ hơn 100 kg - ý kiến phản ánh trọng lượng bị thiếu)

Ta có:
- Kích thước mẫu: n = 25
- Trung bình mẫu: \(\overline{x} = 98.97\)
- Trung bình quần thể theo giả thuyết gốc: \(\mu_0 = 100\)
- Độ lệch chuẩn của quần thể: \(\sigma = \sqrt{0.01} = 0.1\)
- Mức ý nghĩa: \(\alpha = 0.05\)

Sử dụng thống kê kiểm định z:
\[ z = \frac{\overline{x} - \mu_0}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}} = \frac{98.97 - 100}{\frac{0.1}{\sqrt{25}}} = \frac{-1.03}{0.02} = -51.5 \]

Giá trị tới hạn (critical value) cho kiểm định một phía trái với \(\alpha = 0.05\) là z_{\alpha} = -1.645 (tra bảng phân phối chuẩn tắc).

Miền bác bỏ H0 là \(z < -1.645\).

Vì giá trị thống kê kiểm định z = -51.5 nhỏ hơn -1.645, nên giá trị quan sát thuộc miền bác bỏ.
Do đó, ta bác bỏ giả thuyết H0 và chấp nhận giả thuyết H1. Điều này có nghĩa là có đủ bằng chứng để kết luận rằng trọng lượng trung bình của các bao hàng thực tế nhỏ hơn 100 kg. Vậy ý kiến phản ánh là có cơ sở.

Câu 37:

Khẳng định nào dưới đây là đường hồi quy tuyến tính của YYY theo XXX?

Lời giải:

Đáp án đúng: A

Câu hỏi này đang hỏi về dạng tổng quát của phương trình hồi quy tuyến tính của Y theo X. Phương trình hồi quy tuyến tính có dạng y = a + bx, trong đó a là hệ số chặn và b là hệ số góc. Vì các đáp án A, B, C, D đều không đầy đủ nên không có đáp án đúng trong các lựa chọn đã cho. Tuy nhiên, nếu các đáp án đầy đủ hơn, chúng ta sẽ tìm phương án có dạng y = a + bx.

Câu 38:

Một khách sạn nhận đặt chỗ của 585 khách hàng cho 500 phòng vào ngày 2/9 vì theo kinh nghiệm của những năm trước cho thấy có 15% khách đặt chỗ nhưng không đến. Biết mỗi khách đặt 1 phòng, tính xác suất có từ 494 đến 499 khách đặt chỗ và đến nhận phòng vào ngày 2/9?

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Đây là bài toán về phân phối nhị thức. Gọi X là số khách đến nhận phòng. Ta có n = 585 (số khách đặt phòng), p = 1 - 0.15 = 0.85 (xác suất một khách đặt phòng đến nhận phòng). Vậy X tuân theo phân phối nhị thức B(585, 0.85).

Ta cần tính P(494 ≤ X ≤ 499). Ta có thể sử dụng xấp xỉ phân phối chuẩn để tính toán xác suất này.

Trung bình: μ = np = 585 * 0.85 = 497.25
Độ lệch chuẩn: σ = sqrt(np(1-p)) = sqrt(585 * 0.85 * 0.15) = sqrt(74.5125) ≈ 8.63

Ta cần tính P(494 ≤ X ≤ 499). Sử dụng hiệu chỉnh liên tục, ta tính P(493.5 < X < 499.5).

Z1 = (493.5 - 497.25) / 8.63 ≈ -0.43
Z2 = (499.5 - 497.25) / 8.63 ≈ 0.26

P(493.5 < X < 499.5) = P(-0.43 < Z < 0.26) = P(Z < 0.26) - P(Z < -0.43)

Dựa vào bảng phân phối Z chuẩn, ta có:
P(Z < 0.26) ≈ 0.6026
P(Z < -0.43) ≈ 0.3336

P(-0.43 < Z < 0.26) ≈ 0.6026 - 0.3336 = 0.269 ≈ 0.27

Tuy nhiên, các đáp án không có giá trị nào gần với 0.27. Để xem xét lại, ta tính từng xác suất riêng lẻ cho 494, 495, 496, 497, 498, 499 và cộng lại.

Ta có thể dùng phần mềm thống kê hoặc máy tính để tính chính xác hơn. Kết quả là khoảng 0.2273.

Câu 39:

Một lô hàng thịt đông lạnh đóng gói nhập khẩu với tỉ lệ bị nhiễm khuẩn là 1,6%. Kiểm tra lần lượt ngẫu nhiên 2000 gói thịt từ lô hàng này. Tính xác suất có đúng 36 gói thịt bị nhiễm khuẩn?

Lời giải: