Một bình đựng 5 viên bi xanh và 4 viên bi đỏ. Lần thứ nhất lấy ngẫu nhiên một viên bi và không bỏ vào lại bình, lần thứ hai lấy ngẫu nhiên một viên bi. Xác suất để lần đầu lấy 1 bi xanh và lần hai lấy 1 bi đỏ là:

Thuật toán sinh hoán vị hoạt động như sau:
1. Bắt đầu từ hoán vị đầu tiên (ví dụ: 1 2 3 4).
2. Tìm từ phải sang trái phần tử a[i] đầu tiên sao cho a[i] < a[i+1]. Nếu không tồn tại, đây là hoán vị cuối cùng.
3. Tìm từ phải sang trái phần tử a[j] đầu tiên sao cho a[j] > a[i].
4. Đổi chỗ a[i] và a[j].
5. Lật ngược đoạn từ a[i+1] đến cuối dãy.

Áp dụng vào hoán vị 1 3 4 2:
- Bước 2: Tìm từ phải sang trái, ta thấy 3 < 4.
- Bước 3: Tìm từ phải sang trái phần tử lớn hơn 3, ta được 4.
- Bước 4: Đổi chỗ 3 và 4, ta được 1 4 3 2.
- Bước 5: Lật ngược đoạn 3 2, ta được 1 4 2 3.

Vậy hoán vị kế tiếp của 1 3 4 2 là 1 4 2 3. Không có đáp án nào đúng trong các lựa chọn đã cho.

Đây là bài toán chia kẹo Euler. Gọi x, y, z lần lượt là số cam, xoài và quýt được chọn. Ta có phương trình: x + y + z = 8, với x, y, z là các số nguyên không âm.
Số nghiệm của phương trình này là số cách chọn 8 phần tử từ tập 3 loại (có thể chọn trùng nhau). Áp dụng công thức tổ hợp lặp, ta có số nghiệm là C(8 + 3 - 1, 8) = C(10, 8) = C(10, 2) = (10 * 9) / (2 * 1) = 45.
Vậy có 45 cách mua 8 quả trái cây từ 3 loại cam, xoài, quýt.

Để xác định xem có tồn tại cây khung nhỏ nhất của đồ thị G chứa cạnh (4,6) hay không, ta xem xét việc thêm cạnh (4,6) vào cây khung và kiểm tra tính tối ưu của nó so với các cây khung khác không chứa cạnh này. Sử dụng thuật toán Kruskal, ta sắp xếp các cạnh theo trọng số tăng dần và xây dựng cây khung. Nếu việc thêm cạnh (4,6) vào cây khung không làm tăng trọng số tổng thể của cây khung so với cây khung nhỏ nhất không chứa nó, thì cạnh (4,6) có thể thuộc cây khung nhỏ nhất. Trong trường hợp này, việc thêm cạnh (4,6) không nhất thiết làm tăng trọng số, do đó có tồn tại cây khung nhỏ nhất chứa cạnh (4,6).

Để xét xem một đồ thị phẳng liên thông có tồn tại hay không, ta sử dụng công thức Euler cho đồ thị phẳng liên thông: v - e + f = 2, trong đó v là số đỉnh, e là số cạnh, và f là số mặt. Ngoài ra, ta có bất đẳng thức 3f ≤ 2e (mỗi mặt được bao bởi ít nhất 3 cạnh, và mỗi cạnh thuộc nhiều nhất 2 mặt). Điều này chỉ đúng khi đồ thị không có cạnh song song và khuyên. Thay f = 2 - v + e vào bất đẳng thức trên, ta được: 3(2 - v + e) ≤ 2e => 6 - 3v + 3e ≤ 2e => e ≤ 3v - 6. Trong trường hợp này, v = 6 và e = 14. Thay vào bất đẳng thức, ta có: 14 ≤ 3(6) - 6 => 14 ≤ 18 - 6 => 14 ≤ 12. Bất đẳng thức này sai, vậy không tồn tại đồ thị phẳng liên thông với 6 đỉnh và 14 cạnh.

Để giải bài toán này, ta sẽ xét các trường hợp có ít nhất hai số liên tiếp nhau được chọn trong 4 số được chọn từ tập {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.

Gọi A là tập các bộ 4 số được chọn từ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.

Trường hợp 1: Có đúng một cặp số liên tiếp.
Ví dụ: {1, 2, 4, 6}

Trường hợp 2: Có hai cặp số liên tiếp.
Ví dụ: {1, 2, 3, 5} hoặc {1, 2, 6, 7}

Trường hợp 3: Có ba số liên tiếp.
Ví dụ: {1, 2, 3, 5}

Trường hợp 4: Có bốn số liên tiếp.
Ví dụ: {1, 2, 3, 4}

Ta sẽ sử dụng phương pháp phần bù. Tính tổng số cách chọn 4 số bất kỳ từ 7 số, sau đó trừ đi số cách chọn 4 số mà không có hai số nào liên tiếp.

Tổng số cách chọn 4 số từ 7 số là C(7, 4) = 7! / (4! * 3!) = (7 * 6 * 5) / (3 * 2 * 1) = 35.

Bây giờ ta tính số cách chọn 4 số từ 7 số sao cho không có hai số nào liên tiếp.
Gọi x1, x2, x3, x4 là 4 số được chọn, sao cho 1 <= x1 < x2 < x3 < x4 <= 7.
Để không có hai số nào liên tiếp, ta có x2 >= x1 + 2, x3 >= x2 + 2, x4 >= x3 + 2.
Đặt y1 = x1, y2 = x2 - 1, y3 = x3 - 2, y4 = x4 - 3.
Khi đó 1 <= y1 < y2 < y3 < y4 <= 4.
Số cách chọn 4 số y1, y2, y3, y4 từ tập {1, 2, 3, 4} là C(4, 4) = 1.
Vì vậy, số cách chọn 4 số từ 7 số sao cho không có hai số nào liên tiếp là C(7 - 4 + 1, 4) = C(4, 4) = 1. C(7-4+1, 4) = C(4,4) = 1.
Vậy số cách chọn 4 số từ 7 số sao cho không có hai số nào liên tiếp là C(4,4) = 1.
Vậy số cách chọn 4 số từ 7 số sao cho không có hai số nào liên tiếp là C(7-3,4) = C(4,4) = 1 cách.
Số cách chọn 4 số từ 7 số sao cho không có 2 số nào liên tiếp là: C(n-k+1, k) = C(7-4+1, 4) = C(4, 4) = 1.
Số cách chọn 4 số từ 7 số sao cho không có 2 số nào liên tiếp là 1.

Số cách chọn ra 4 phần tử từ 7 số 1, 2, …, 7 sao cho luôn có 2 số liên tiếp nhau cùng được chọn là: 35 - 1 = 34.

Vậy đáp án đúng là 34.