Mỗi thành viên trong câu lạc bộ Toán tin có quê ở 1 trong 20 tỉnh thành. Hỏi cần phải tuyển bao nhiêu thành viên để đảm bảo có ít nhất 5 người cùng quê?

Quan hệ tương đương là một quan hệ hai ngôi trên một tập hợp khác rỗng, thỏa mãn ba tính chất: phản xạ, đối xứng và bắc cầu.

• Phản xạ: Với mọi phần tử a thuộc tập hợp X, ta có aRa.
• Đối xứng: Với mọi phần tử a và b thuộc tập hợp X, nếu aRb thì bRa.
• Bắc cầu: Với mọi phần tử a, b và c thuộc tập hợp X, nếu aRb và bRc thì aRc.

Đối chiếu với các phương án, ta thấy phương án A là đáp án đúng.

Quan hệ thứ tự (partial order) trên một tập hợp X là một quan hệ hai ngôi R thỏa mãn ba tính chất:

• Phản xạ (Reflexive): Với mọi phần tử a thuộc X, ta có (a, a) thuộc R.
• Phản đối xứng (Antisymmetric): Với mọi phần tử a, b thuộc X, nếu (a, b) thuộc R và (b, a) thuộc R thì a = b.
• Bắc cầu (Transitive): Với mọi phần tử a, b, c thuộc X, nếu (a, b) thuộc R và (b, c) thuộc R thì (a, c) thuộc R.

Do đó, đáp án đúng là B.

Để tìm ma trận biểu diễn quan hệ R trên tập A, ta cần xác định các phần tử của ma trận. Ma trận này sẽ có kích thước 5x5 vì tập A có 5 phần tử. Phần tử ở hàng i, cột j của ma trận sẽ là 1 nếu (i, j) thuộc R, và là 0 nếu (i, j) không thuộc R.

Ta có R = {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (1,2), (2,3), (3,2), (2,1)}.

Như vậy:

• Hàng 1: (1,1) ∈ R, (1,2) ∈ R, còn lại (1,3), (1,4), (1,5) không thuộc R.
• Hàng 2: (2,1) ∈ R, (2,2) ∈ R, (2,3) ∈ R, còn lại (2,4), (2,5) không thuộc R.
• Hàng 3: (3,2) ∈ R, (3,3) ∈ R, còn lại (3,1), (3,4), (3,5) không thuộc R.
• Hàng 4: (4,4) ∈ R, còn lại (4,1), (4,2), (4,3), (4,5) không thuộc R.
• Hàng 5: (5,5) ∈ R, còn lại (5,1), (5,2), (5,3), (5,4) không thuộc R.

Đối chiếu với các đáp án, ta thấy đáp án A phù hợp.

Phân tích bài toán:

- 10 câu hỏi đầu: mỗi câu có 4 phương án, sinh viên phải chọn 1. Vậy số cách chọn cho 10 câu đầu là 4¹⁰.

- 10 câu hỏi sau: mỗi câu có 5 lựa chọn (4 phương án + 1 bỏ trống). Vậy số cách chọn cho 10 câu sau là 5¹⁰.

Vậy tổng số sự lựa chọn của sinh viên là 4¹⁰ * 5¹⁰.

Đánh giá các đáp án:

- A. 4³⁰: Sai.

- B. 4¹⁰+5¹⁰: Sai.

- C. 20¹⁰: Sai.

- D. 4¹⁰ * 5¹⁰: Không có đáp án nào trùng khớp hoàn toàn với kết quả tính toán, tuy nhiên đáp án đúng phải là tích của 4^10 và 5^10