Một quan hệ hai ngôi R trên một tập hợp X (khác rỗng) được gọi là quan hệ thứ tự nếu và chỉ nếu nó có 3 tính chất sau.

Để tìm ma trận biểu diễn quan hệ R trên tập A, ta cần xác định các phần tử của ma trận. Ma trận này sẽ có kích thước 5x5 vì tập A có 5 phần tử. Phần tử ở hàng i, cột j của ma trận sẽ là 1 nếu (i, j) thuộc R, và là 0 nếu (i, j) không thuộc R.

Ta có R = {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (1,2), (2,3), (3,2), (2,1)}.

Như vậy:

• Hàng 1: (1,1) ∈ R, (1,2) ∈ R, còn lại (1,3), (1,4), (1,5) không thuộc R.
• Hàng 2: (2,1) ∈ R, (2,2) ∈ R, (2,3) ∈ R, còn lại (2,4), (2,5) không thuộc R.
• Hàng 3: (3,2) ∈ R, (3,3) ∈ R, còn lại (3,1), (3,4), (3,5) không thuộc R.
• Hàng 4: (4,4) ∈ R, còn lại (4,1), (4,2), (4,3), (4,5) không thuộc R.
• Hàng 5: (5,5) ∈ R, còn lại (5,1), (5,2), (5,3), (5,4) không thuộc R.

Đối chiếu với các đáp án, ta thấy đáp án A phù hợp.

Phân tích bài toán:

- 10 câu hỏi đầu: mỗi câu có 4 phương án, sinh viên phải chọn 1. Vậy số cách chọn cho 10 câu đầu là 4¹⁰.

- 10 câu hỏi sau: mỗi câu có 5 lựa chọn (4 phương án + 1 bỏ trống). Vậy số cách chọn cho 10 câu sau là 5¹⁰.

Vậy tổng số sự lựa chọn của sinh viên là 4¹⁰ * 5¹⁰.

Đánh giá các đáp án:

- A. 4³⁰: Sai.

- B. 4¹⁰+5¹⁰: Sai.

- C. 20¹⁰: Sai.

- D. 4¹⁰ * 5¹⁰: Không có đáp án nào trùng khớp hoàn toàn với kết quả tính toán, tuy nhiên đáp án đúng phải là tích của 4^10 và 5^10

Để xét tính bắc cầu của quan hệ R, ta cần kiểm tra xem nếu (a, b) ∈ R và (b, c) ∈ R thì (a, c) ∈ R hay không.

- (1, 2) ∈ R và (2, 3) ∈ R, nhưng (1, 3) ∉ R. Vậy R không có tính bắc cầu.

Quan hệ tương đương phải có tính phản xạ, đối xứng và bắc cầu. R có tính phản xạ (vì (1,1), (2,2), (3,3) ∈ R). R không có tính đối xứng (ví dụ, (1,2) ∈ R nhưng (2,1) ∉ R). Vì R không có tính đối xứng và bắc cầu nên R không phải là quan hệ tương đương.

Quan hệ thứ tự phải có tính phản xạ, phản đối xứng và bắc cầu. R không có tính đối xứng, vì vậy nó không thể là quan hệ thứ tự.

Vậy đáp án đúng là R không có tính bắc cầu.

Đề bài cho quan hệ R trên tập A sao cho aRb khi và chỉ khi a + b = 2k + 1 với k là số nguyên. Điều này có nghĩa là a + b phải là một số lẻ. Để tổng của hai số là lẻ, thì một số phải là chẵn và số còn lại phải là lẻ.

Xét các phần tử của A = {11, 12, 13, 14, 15}:

\n
• 11 là số lẻ
\n
• 12 là số chẵn
\n
• 13 là số lẻ
\n
• 14 là số chẵn
\n
• 15 là số lẻ
\n

Vậy, ta có các cặp số (a, b) thỏa mãn aRb:

\n
• (11, 12) vì 11 + 12 = 23 (lẻ)
\n
• (12, 11) vì 12 + 11 = 23 (lẻ)
\n
• (11, 14) vì 11 + 14 = 25 (lẻ)
\n
• (14, 11) vì 14 + 11 = 25 (lẻ)
\n
• (12, 13) vì 12 + 13 = 25 (lẻ)
\n
• (13, 12) vì 13 + 12 = 25 (lẻ)
\n
• (12, 15) vì 12 + 15 = 27 (lẻ)
\n
• (15, 12) vì 15 + 12 = 27 (lẻ)
\n
• (13, 14) vì 13 + 14 = 27 (lẻ)
\n
• (14, 13) vì 14 + 13 = 27 (lẻ)
\n
• (14, 15) vì 14 + 15 = 29 (lẻ)
\n
• (15, 14) vì 15 + 14 = 29 (lẻ)
\n

Vậy quan hệ R được biểu diễn là: {(11, 12), (12, 11), (11, 14), (14, 11), (12, 15), (15, 12), (13, 14), (14, 13), (12, 13), (13, 12), (14, 15), (15, 14)}