Một sinh viên phải trả lời 20 câu hỏi cho một kỳ thi, mỗi câu hỏi có 4 phương án trả lời. Biết rằng sinh viên bắt buộc phải lựa chọn phương án nào đó cho 10 câu hỏi đầu tiên, còn 10 câu hỏi sau câu trả lời có thể bỏ trống. Hỏi sinh viên này có bao nhiêu sự lựa chọn?

Để xét tính bắc cầu của quan hệ R, ta cần kiểm tra xem nếu (a, b) ∈ R và (b, c) ∈ R thì (a, c) ∈ R hay không.

- (1, 2) ∈ R và (2, 3) ∈ R, nhưng (1, 3) ∉ R. Vậy R không có tính bắc cầu.

Quan hệ tương đương phải có tính phản xạ, đối xứng và bắc cầu. R có tính phản xạ (vì (1,1), (2,2), (3,3) ∈ R). R không có tính đối xứng (ví dụ, (1,2) ∈ R nhưng (2,1) ∉ R). Vì R không có tính đối xứng và bắc cầu nên R không phải là quan hệ tương đương.

Quan hệ thứ tự phải có tính phản xạ, phản đối xứng và bắc cầu. R không có tính đối xứng, vì vậy nó không thể là quan hệ thứ tự.

Vậy đáp án đúng là R không có tính bắc cầu.

Đề bài cho quan hệ R trên tập A sao cho aRb khi và chỉ khi a + b = 2k + 1 với k là số nguyên. Điều này có nghĩa là a + b phải là một số lẻ. Để tổng của hai số là lẻ, thì một số phải là chẵn và số còn lại phải là lẻ.

Xét các phần tử của A = {11, 12, 13, 14, 15}:

\n
• 11 là số lẻ
\n
• 12 là số chẵn
\n
• 13 là số lẻ
\n
• 14 là số chẵn
\n
• 15 là số lẻ
\n

Vậy, ta có các cặp số (a, b) thỏa mãn aRb:

\n
• (11, 12) vì 11 + 12 = 23 (lẻ)
\n
• (12, 11) vì 12 + 11 = 23 (lẻ)
\n
• (11, 14) vì 11 + 14 = 25 (lẻ)
\n
• (14, 11) vì 14 + 11 = 25 (lẻ)
\n
• (12, 13) vì 12 + 13 = 25 (lẻ)
\n
• (13, 12) vì 13 + 12 = 25 (lẻ)
\n
• (12, 15) vì 12 + 15 = 27 (lẻ)
\n
• (15, 12) vì 15 + 12 = 27 (lẻ)
\n
• (13, 14) vì 13 + 14 = 27 (lẻ)
\n
• (14, 13) vì 14 + 13 = 27 (lẻ)
\n
• (14, 15) vì 14 + 15 = 29 (lẻ)
\n
• (15, 14) vì 15 + 14 = 29 (lẻ)
\n

Vậy quan hệ R được biểu diễn là: {(11, 12), (12, 11), (11, 14), (14, 11), (12, 15), (15, 12), (13, 14), (14, 13), (12, 13), (13, 12), (14, 15), (15, 14)}

Theo đề bài, ta có aRb khi và chỉ khi 2a - b = 0, hay b = 2a. Ta xét các cặp (a, b) thỏa mãn điều kiện này:

• Nếu a = 1 thì b = 2*1 = 2, ta có cặp (1, 2).
• Nếu a = 2 thì b = 2*2 = 4, ta có cặp (2, 4).
• Nếu a = 3 thì b = 2*3 = 6, ta có cặp (3, 6).

Vậy quan hệ R = {(1, 2), (2, 4), (3, 6)}.