Một quan hệ hai ngôi R trên một tập hợp X (khác rỗng) được gọi là quan hệ tương đương nếu và chỉ nếu nó có 3 tính chất sau.

Quan hệ thứ tự (partial order) trên một tập hợp X là một quan hệ hai ngôi R thỏa mãn ba tính chất:

• Phản xạ (Reflexive): Với mọi phần tử a thuộc X, ta có (a, a) thuộc R.
• Phản đối xứng (Antisymmetric): Với mọi phần tử a, b thuộc X, nếu (a, b) thuộc R và (b, a) thuộc R thì a = b.
• Bắc cầu (Transitive): Với mọi phần tử a, b, c thuộc X, nếu (a, b) thuộc R và (b, c) thuộc R thì (a, c) thuộc R.

Do đó, đáp án đúng là B.

Để tìm ma trận biểu diễn quan hệ R trên tập A, ta cần xác định các phần tử của ma trận. Ma trận này sẽ có kích thước 5x5 vì tập A có 5 phần tử. Phần tử ở hàng i, cột j của ma trận sẽ là 1 nếu (i, j) thuộc R, và là 0 nếu (i, j) không thuộc R.

Ta có R = {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (1,2), (2,3), (3,2), (2,1)}.

Như vậy:

• Hàng 1: (1,1) ∈ R, (1,2) ∈ R, còn lại (1,3), (1,4), (1,5) không thuộc R.
• Hàng 2: (2,1) ∈ R, (2,2) ∈ R, (2,3) ∈ R, còn lại (2,4), (2,5) không thuộc R.
• Hàng 3: (3,2) ∈ R, (3,3) ∈ R, còn lại (3,1), (3,4), (3,5) không thuộc R.
• Hàng 4: (4,4) ∈ R, còn lại (4,1), (4,2), (4,3), (4,5) không thuộc R.
• Hàng 5: (5,5) ∈ R, còn lại (5,1), (5,2), (5,3), (5,4) không thuộc R.

Đối chiếu với các đáp án, ta thấy đáp án A phù hợp.

Phân tích bài toán:

- 10 câu hỏi đầu: mỗi câu có 4 phương án, sinh viên phải chọn 1. Vậy số cách chọn cho 10 câu đầu là 4¹⁰.

- 10 câu hỏi sau: mỗi câu có 5 lựa chọn (4 phương án + 1 bỏ trống). Vậy số cách chọn cho 10 câu sau là 5¹⁰.

Vậy tổng số sự lựa chọn của sinh viên là 4¹⁰ * 5¹⁰.

Đánh giá các đáp án:

- A. 4³⁰: Sai.

- B. 4¹⁰+5¹⁰: Sai.

- C. 20¹⁰: Sai.

- D. 4¹⁰ * 5¹⁰: Không có đáp án nào trùng khớp hoàn toàn với kết quả tính toán, tuy nhiên đáp án đúng phải là tích của 4^10 và 5^10

Để xét tính bắc cầu của quan hệ R, ta cần kiểm tra xem nếu (a, b) ∈ R và (b, c) ∈ R thì (a, c) ∈ R hay không.

- (1, 2) ∈ R và (2, 3) ∈ R, nhưng (1, 3) ∉ R. Vậy R không có tính bắc cầu.

Quan hệ tương đương phải có tính phản xạ, đối xứng và bắc cầu. R có tính phản xạ (vì (1,1), (2,2), (3,3) ∈ R). R không có tính đối xứng (ví dụ, (1,2) ∈ R nhưng (2,1) ∉ R). Vì R không có tính đối xứng và bắc cầu nên R không phải là quan hệ tương đương.

Quan hệ thứ tự phải có tính phản xạ, phản đối xứng và bắc cầu. R không có tính đối xứng, vì vậy nó không thể là quan hệ thứ tự.

Vậy đáp án đúng là R không có tính bắc cầu.