Có 4 chất điểm khối lượng bằng nhau và bằng m, đặt tại 4 đỉnh của hình vuông ABCD, cạnh a. Mômen quán tính của hệ này đối với trục quay đi qua tâm hình vuông và vuông góc với mặt phẳng hình vuông là:
Đáp án đúng: C
Câu hỏi liên quan
Đổi đơn vị khối lượng từ gram sang kg: 50g = 0.05 kg, 25g = 0.025 kg, 30g = 0.03 kg.
Đổi đơn vị tọa độ từ cm sang m: Các tọa độ y là 2cm = 0.02m, 4cm = 0.04m, -3cm = -0.03m, 4cm = 0.04m
Tính mômen quán tính của từng hạt:
- Hạt A: I_A = 0.05 * (0.02)^2 = 0.05 * 0.0004 = 0.00002 kg.m^2
- Hạt B: I_B = 0.025 * (0.04)^2 = 0.025 * 0.0016 = 0.00004 kg.m^2
- Hạt C: I_C = 0.05 * (-0.03)^2 = 0.05 * 0.0009 = 0.000045 kg.m^2
- Hạt D: I_D = 0.03 * (0.04)^2 = 0.03 * 0.0016 = 0.000048 kg.m^2
Tính mômen quán tính của cả hệ:
I = I_A + I_B + I_C + I_D = 0.00002 + 0.00004 + 0.000045 + 0.000048 = 0.000153 kg.m^2 = 1,53.10^{-4} kg.m^2
Vậy đáp án đúng là A.
Tiếp theo, ta tính gia tốc góc α: Vì vô lăng dừng lại sau 20 giây, ta có α = (0 - ω) / t = -8π / 20 = -0.4π rad/s².
Sau đó, ta tính moment quán tính I của vô lăng hình đĩa tròn: I = (1/2) * m * R² = (1/2) * 10 * (0.2)² = 0.2 kg.m².
Cuối cùng, ta tính độ lớn của mômen hãm M: M = I * |α| = 0.2 * 0.4π ≈ 0.25 Nm.
Vậy đáp án đúng là C.
Để xác định chiều chuyển động của cuộn chỉ, ta cần phân tích các lực tác dụng lên cuộn chỉ và moment của chúng đối với trục quay của cuộn chỉ. Trong trường hợp này, có hai lực chính cần xét:
Lực kéo →FF→ có hướng như hình vẽ.
Lực ma sát nghỉ (hoặc ma sát trượt) →Fms→Fms→ tác dụng tại điểm tiếp xúc giữa cuộn chỉ và mặt bàn.
Lực kéo →FF→ có xu hướng làm cuộn chỉ quay theo chiều kim đồng hồ. Lực ma sát →Fms→Fms→ sẽ xuất hiện để chống lại chuyển động quay này.
Để xác định chiều chuyển động, ta so sánh moment của hai lực này đối với trục quay của cuộn chỉ (điểm tiếp xúc giữa cuộn chỉ và mặt bàn):
- Moment của lực kéo →FF→: M(F)=F.rM(F)=F.r, với rr là khoảng cách từ trục quay đến phương của lực →FF→F→.
- Moment của lực ma sát →Fms→Fms→: M(Fms)=Fms.RM(Fms)=Fms.R, với RR là bán kính của cuộn chỉ.
Nếu M(F)>M(Fms)M(F)>M(Fms), cuộn chỉ sẽ quay theo chiều của lực kéo (chiều kim đồng hồ) và chuyển động sang phải.
Nếu M(F)<M(Fms)M(F)<M(Fms), cuộn chỉ sẽ quay ngược chiều kim đồng hồ và chuyển động sang trái.
Nếu M(F)=M(Fms)M(F)=M(Fms), cuộn chỉ sẽ đứng yên hoặc quay tại chỗ.
Từ hình vẽ, ta thấy rằng khoảng cách rr từ trục quay đến phương của lực kéo →FF→F→ nhỏ hơn bán kính RR của cuộn chỉ (r<Rr<R). Điều này có nghĩa là M(F)<M(Fms)M(F)<M(Fms), do đó cuộn chỉ sẽ quay ngược chiều kim đồng hồ và chuyển động sang trái.
Bài toán này áp dụng định luật bảo toàn mômen động lượng.
Mômen động lượng ban đầu của hệ (người + bàn) là:
L1 = Iω1 + mr2ω1 = (I + mR2)ω1
Khi người di chuyển vào tâm bàn, mômen động lượng của hệ là:
L2 = Iω2 + m(0)2ω2 = Iω2
Áp dụng định luật bảo toàn mômen động lượng: L1 = L2
(I + mR2)ω1 = Iω2
ω2 = ω1(I + mR2)/I = 1(140 + 70*12)/140 = 1.5 vòng/giây
Áp dụng phương trình động lực học quay: Iε = M, với I là moment quán tính và ε là gia tốc góc.
Suy ra: I(dω/dt) = -k√ω => dω/√ω = -(k/I)dt
Lấy tích phân hai vế từ thời điểm ban đầu (ω = ω0, t = 0) đến thời điểm t bất kỳ:
∫ω0ω dω/√ω = ∫0t -(k/I)dt
=> 2√ω |ω0ω = -(k/I)t
=> 2(√ω - √ω0) = -(k/I)t
Khi vô lăng dừng hẳn (ω = 0), gọi thời gian dừng là T, ta có:
2(0 - √ω0) = -(k/I)T => T = (2I√ω0)/k
Vận tốc góc trung bình được tính bằng công thức: ωtb = (∫0T ω dt) / T
Từ phương trình 2(√ω - √ω0) = -(k/I)t, ta có √ω = √ω0 - (k/2I)t => ω = (√ω0 - (k/2I)t)^2
=> ω = ω0 - (k√ω0/I)t + (k^2/4I^2)t^2
Thay vào công thức tính vận tốc góc trung bình:
ωtb = (1/T) ∫0T [ω0 - (k√ω0/I)t + (k^2/4I^2)t^2] dt
ωtb = (1/T) [ω0t - (k√ω0/2I)t^2 + (k^2/12I^2)t^3] |0T
Thay T = (2I√ω0)/k vào, ta được:
ωtb = (1/T) [ω0(2I√ω0)/k - (k√ω0/2I)(4I^2ω0/k^2) + (k^2/12I^2)(8I^3ω0√ω0/k^3)]
ωtb = (k/(2I√ω0)) [2Iω0√ω0/k - 2Iω0√ω0/k + (2/3)Iω0√ω0/k]
ωtb = (k/(2I√ω0)) [(2/3)Iω0√ω0/k]
ωtb = ω0/3
